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기하-도형 퍼즐36

직사각형을 정사각형으로 만드는 3가지 방법 분할-조합의 가장 기본이 되는 정사각형 만들기를 탐구해보자. 이를 위해 가장 간단히 생각할 수 있는 직사각형을 생각한다. 가로세로 길이가 a, b인 직사각형이 있다고 하자. 이 직사각형의 넓이는 ab이므로, 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 둘레는 √ab가 된다. 그렇다면 √ab는 작도가 가능한가? 이 길이가 작도가 되지 않는다면, 우리가 해야할 마름질은 당연히 모두 허사다 될 것이다. 아, 다행이도 √ab는 작도가 가능하다. 다음 그림처럼. 정사각형의 길이 작도가 증명되었으므로 이것에 대해서는 별 신경쓰지 않고 넘어가기로 한다. 이제 세 가지 방법을 소개한다. 첫번째 방법 이 방법은 이전에 포스팅했던 글 Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem에서 썼던 방법을 그대로 직사각형에 적용시킨 것.. 2012. 10. 31.
피자 자르기 문제 둥그런 피자 한 판을 자르기 직전이다. 다음과 같이 가정한다. 1. 피자는 정확한 원이다. 2. 피자 커터로는 오직 직선으로만 자를 수 있다. 3. 아무리 작아도, 조각으로 인정한다. 이제부터 할 일은 피자를 최대한 많이 자르는 것이다. 여러 사람과 나누어 먹는 것은 우리의 관심이 아니다. (그래서 피자 나누기가 아니라 피자 자르기다.) 뭔가 외로운 작업인 것 같지만, 계속 일을 진행하자. 피자를 나누는 커팅횟수를 n, n번으로 가장 많이 낼 수 있는 조각수를 S_n이라고 하자. 다음은 n = 1, 2일 때의 그림이다. 너무나 당연히 S_1 = 2, S_2 = 4이다. S_n에 대한 공식은 다음과 같다. 대입해보면, S_3 = 7 S_4 = 11 S_5 = 16 S_6 = 22 가 된다. 그렇다면 직접 .. 2012. 10. 14.
2, 3, 5 다음의 넓이를 구하여라. 직각표시는 모두 90도이다. 풀이1 위 그림과 같이 점의 이름을 붙이고, 선분 AC를 보조선으로 긋자. 삼각형 ADF와 CEF는 AA닮음이므로, AD ; DF = EC : EF 이다. 문제에서 AD = 2, EC = 3, DE = 2라 하였으므로, DF = 2 * 2/(2+3) = 4/5이고 EF = 2 * 3/(2+3) = 6/5이다. 그러면, 따라서 답은 6 풀이2 풀이 1과 달리 풀이 2에서는 좀 더 위트있게 생각하고자 한다. 먼저 움푹 들어간 부분을 2 * 2 짜리 정사각형으로 메꾼다. 각 DEC가 직각이므로, 메꿔진 도형은 4각형이 된다. 그러면, 따라서 6이라는 같은 결과를 얻는다. 이 문제는 '수학 퍼즐 랜드' (다무라 사부로 지음, 한명수 옮김, 電波科學社)의 제 .. 2012. 9. 15.
상자속에 숨겨진 각도 정육면체 나무상자가 있다. 노란 선으로 칠해진 각도는 각각 얼마일까? 좌측의 그림은 정육면체의 꼭지점을 이은 것이고, 우측의 그림은 정육면체의 모서리의 중점을 이은 것이다. 참고한 도서 : 이야기 수학퍼즐 아하(원제 : Aha Insight, 마틴 가드너 작) 중 -미스 유클리드의 정육면체(p204-207) 편 물론 다른 퍼즐 책에도 종종 나온다. 해답 및 해설 머리속에서 답이 곧장 나오지 않는 이유는 위 그림이 사투상법으로 그려져 있기 때문이다. 사투상법이란 물체의 정면을 그리고 , 일정 각도만큼 위로 올려 (혹은 아래로 내려) 안쪽 길이를 표현하는 투상법이다. 주로 45도 각도로 깊이감을 표현한다. 사투상법은 물체의 정면을 정확히 알 수 있어서 좋지만, 그 대신 깊이 부분에서 각이 나오지 않게 된다... 2012. 8. 14.
등분(等分)에 탁월한 조각 다음과 같은 조각이 있다. 가로세로 2 × 3 의 직사각형에서 모퉁이의 단위정사각형(1×1)을 뺀 그림과 같은 조각은 등분에 있어서 대단히 탁월한 능력을 보여준다. 문제. 위 조각을 모양이 합동이 되도록 1. 5등분하라. 2. 4등분하라. 3. 3등분하라. Hint : 4등분에선 거울상대칭이 들어간다. 해답 1. 5등분하라. 설마 이걸 틀릴 수 있을까? 정사각형 5 개로 이루어져있기 때문에 위 조각은 펜토미노(pentomino) 중 하나가 된다. 알파벳을 붙여 말하면 p-pentomino이다. 2. 4등분하라. 힌트에서 언급한 대로 뒤집어진 부분이 있지만, 그래도 보기좋은 해답이다. 등분된 조각을 잘 살펴보면 본래 조각을 축소한 모양임을 알 수 있다. 이러한 다각형을 Rep-Tile이라고 한다. 파충류r.. 2012. 8. 7.
5, 7, 8 문제는 보는 그대로이다. 직사각형 몇 개를 붙여놓은 기괴한 도형의 둘레를 구해야 하는데, 주어진 정보가 부족한 것 같다. 하지만, 저 3개의 숫자 정보만으로 충분히 둘레를 구할 수 있다. 과연 답은? 위 문제는 예전에 인터넷 상에 잠시 유행했다가, 어떻게 자료가 돌고 돌아 최근 다시 유행하고 있는 문제이다. 주어진 문제가 너무 간단한데도 막상 답을 말해보려면 한방에 구해지지 않게된다. 출처는 어디일까? 구글 이미지 검색으로는 어디 초등학교 3학년 문제집에서 나왔다고 하고, 또 어디에서는 닌텐도 게임 '레이튼 교수'시리즈 중 하나로 나왔다고 한다. 나는 현 초 3 수학문제집도, 닌텐도도 없으므로 그 진위를 확인할 수 없지만, 우연히 퍼즐 책 중 하나에서 이와 상당이 유사한 문제를 찾을 수 있었다. 다코 아.. 2012. 5. 28.

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