Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem으로 바라본 방물장수 문제(Haberdasher's puzzle)

 Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem덕분에 우리는 도형을 이리저리 잘라 붙이는 놀라운 기교를 할 수 있게 되었다. 간단히 복습해보자. 정리에서 제일 중요한 것은 바로 평행사변형화였다. 평행사변형끼리는 서로 분할합동이므로 아무 다각형이나 평행사변형으로 만드는 일을 함으로서 도형을 이리저리 주무를 수 있게 된 것이다. 이제 이를 이용하여 정삼각형을 정사각형으로 바꾸는 듀드니의 방물장수 문제(Haberdasher's puzzle)를 풀어보자. 

 시행 1.
주어진 정삼각형과 정사각형을 보두 평행사변형으로 바꾸어 주어야 한다. 한 방에 안 된다면, 조각조각잘라서 우선 삼각형으로 만들고, 그 다은 평행사변형으로 만들어야 하는데, 다행히도 우리는 먼 길을 돌아갈 필요가 없다. 정사각형은 이미 평행사변형에 속하므로 손 댈 필요가 없고 정삼각형은 이미 삼각형이므로 이 녀석만 살짝 손질해주면 되겠다.

시행 2.
2개의 서로 다른 평행사변형이 있으므로 중간다리의 평행사변형을 생각해야 한다.

분홍색 평행사변형을 만들기 위해 마름질을 해보자. 

길이가 같은 두 변을 같이 아래에 두고 평행한 변을 따라 잘라낸다.

정사각형이 평행사변형으로 변하는 데에 총 3조각이 필요했다. 정삼각형 쪽도 마찬가지다.

 시행 3.
이제 분할해야 할 모든 선을 알았으므로 종합하기만 하면 된다.

 

위의 그림이 바로 그 훌륭한 결과이다.


구미가 당기는 사람은 직접 잘라볼 수도 있겠다. 헌데, 위의 그림에서 보면 다른 조각들과 다르게 노란색 삼각형이 덩치큰 고래들 사이에서 새우마냥 끼워져 있다. 또, 주황색 삼각형은 한 쪽 끝이 너무 예리한 상태이다. 이렇게 조각이 작거나 한쪽 각이 너무 작으면, 실제로 만드는 데에 무리가 생길 수 있으므로 조금 다른 커팅(cutting)으로 조각의 모양을 바꾸어 보자.

 사실 정사삭형을 바꿀 때 굳이 선을 한 쪽 꼭짓점에서부터 시작할 필요가 없다. 길이만 정확하다면 어떤 부분에서 시작하든 똑같이 원하는 바를 이룰 수 있다.

 자유롭게 자를 수 있다는 점을 이용하여 평행사변형을 달리 잘라보자. 왼쪽은 위에서 썼던 바이고, 오른쪽은 새로운 방법으로 잘라 본 것이다.

길의 왼쪽 대신 오른 족을 택하면 조각의 크기가 훨씬 나이짐을 알 수 있다.


P.S.
사실 오른쪽 길의 결과물은 독일의 퍼즐 작가 마커스 괴츠(Markus Göus)의 작품, 저주받은 정사각형(The Cursed Square)이 된다.

(사진 출처 : Puzzlemaster, http://www.puzzlemaster.ca/browse/wood/european/4731-the-cursed-square)

 그의 사이트(http://www.markus-goetz.de/)에 들어가서 puzzle카테고리에서 잘 찾아보면 위 작품에 대한 정보를 찾을 수 있다. 글을 읽어보면 그 역시 도형을 분할하는 방법을 알고 있는 듯 하다.(두번째 문장. "Because I knew that there is a method to accomplish this task, I tried this challenge.(나는 이 일을 완수하는 방법이 있음을 알아고 있었기 때문에 이 도전을 받아들였다.)") 수학적 정리가 이러한 흥미로운 퍼즐을 만든 것이다.

P.S.2
마커스 괴츠의 해는 5조각을 필요로 한다. 그런데 듀드니가 제시한 해답은 놀랍게도 4조각이다!!! 전에도 말한 것 같지만, 정말 대단하다.