직사각형을 정사각형으로 만드는 3가지 방법

 분할-조합의 가장 기본이 되는 정사각형 만들기를 탐구해보자.

 

이를 위해 가장 간단히 생각할 수 있는 직사각형을 생각한다.

 

 

 가로세로 길이가 a, b인 직사각형이 있다고 하자. 이 직사각형의 넓이는 ab이므로, 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 둘레는 √ab가 된다. 그렇다면 √ab는 작도가 가능한가? 이 길이가 작도가 되지 않는다면, 우리가 해야할 마름질은 당연히 모두 허사다 될 것이다. 아, 다행이도 √ab는 작도가 가능하다. 다음 그림처럼.

 

 정사각형의 길이 작도가 증명되었으므로 이것에 대해서는 별 신경쓰지 않고 넘어가기로 한다.

 

 

 

 

 이제 세 가지 방법을 소개한다.

 

 

첫번째 방법

 

 이 방법은 이전에 포스팅했던 글 Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem에서 썼던 방법을 그대로 직사각형에 적용시킨 것이다.

 

 

 정사각형의 한 변의 길이를 가진 평행사변형화이다. 정사각형의 한 변 길이를 직사각형에 그러 평행사변형을 만들고, 그 변을 기준으로 수직선을 그어서 더 자른다. 그러고서 조각들을 평행이동시키면 정사각형이 나온다.

 

 

 

두번째 방법

 

 이 방법은 세 정사각형을 하나의 정사각형으로 만드는 문제에 대한 듀드니(Henry dudeney)의 해답을 본뜬 것이다.

 

 

 우선 직사각형의 긴 변, 즉 가로변에 정사각형의 한 변 길이 √ab에 맞추어 점 찍고, 반대편 변에도 다른 뱡향에서 √ab를 맞추어 점 찍는다. 점에 맞추어 대각선을 긋고, 반대편에서는 수선을 방금을 대각선과 만날때까지 긋는다. 이제 미끄러지듯 삼각형을 옯기면 밑 변에 √ab인 직사각형, 즉 정사각형이 나온다.

 

 

 

세번째 방법

 

이 방법은 Mathematical Olympiad Challenges(Titu Andreescu & Razvan Gelca 지음)에서 발췌한 것이다.

 

먼저 직사각형의 윗 변에 중점을 잡는다. 이 점에서 출발하는 사선을 하나 긋는데, 이 때, 이 선과 직사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점 사이의 거리가 √ab가 되게 한다. (매우 어려운 주문처럼 보이나, 왼쪽 아래 꼭짓점을 중심으로 반경이 √ab인 원을 그리면 쉽게 해결된다.) 우측 조각을 회전시켜 올린다. 그러고나면, 아래의 직각삼각형을 회전시켜 왼쪽에 붙이고, 위의 모퉁이 부분을 잘라 뒤집어서 옆에 붙이면 정사각형이 된다.

 

 

 

 

 

 가장 유용한 방법은 두번째 방법이다. 조각이 세 개밖에 나지 않아 최소조각 분할에 많이 쓰인다. 첫번쩨 방법은 간혹 쓰이나, 세번째 방법은 쓰이는 곳을 사실 보지 못했다. 아마도 조각수도 4개나 생길 뿐더러 보퉁이 조각을 뒤집어야 하는 상황이 발생하기 때문일 것이다.

 그렇다고 두번째 방법이 늘 쓰이는건 아니고, 상황에 맞춰서 가장 적절하다 싶을 때만 알맞게 적용시킨다.

 

 

 

추가.

 만약 직사각형이 매우 길쭉한 모양일 경우 어떻게 할까? 간단하다. 반을 잘라서 2단으로 쌓는다. 그래도 길면 3단으로, 아니면 4단으로 잘라 쌓는다.