등분 퍼즐 소개

이번 퍼즐은 등분(等分), 즉 같게 나누는 일을 해야한다. 여기서 '같게'라는 말이 의미하는 바는 주로 다음과 같다.

 1. 나누어진 모양들이 합동이어야 한다.
 2. 단순연결도형이어야 한다.
 3. 뒤집어서 같아도 인정한다.

 단순히 넓이만 같아서는 일이 너무 쉬우므로 완벽하게 공평히 나누어주자는 취지에서, 그리고 난이도를 올리기 위해 합동인 모양으로 나누게 된다.

 2번 조건은 좀 애매한 상황이 있어서 적었다. 보통은 주어진 모양을 덩어리 개념으로 이리저리 자르게 되는데, 어떤 모양들은 덩어리로서는 도저히 합동인 도형들로 나눌 수 없다. 그럴 땐, 조건을 느슨하게 만들어서 모양들이 꼭짓점으로 붙어있기만해도 괜찮다고 가정한 뒤 답을 찾아본다. 대부분은 이렇게까지 해도 답이 안나오지만, 어떤 것들은 이 정도 조건으로 답이 나온다. 하지만, 이런 경우는 특수한 경우리기 때문에 출제자가 등분 퍼즐에서 따로 언급해주어야 한다.
 (참고로 2번 조건을 수학적으로 말하자면, 조각이 simple closed domain이 되어야 한다고 할 수 있다. 이는 폐곡선적분에 있어서 중요한 조건이다.)
 뒤집기 역시 조건이 붙을 수 도 있고 안 붙을 수 도 있다. 선대칭도형을 2등분할 때 흔히 발생하는 일로, 2차원적 관점에서는 두 도형이 합동임에도 불구하고 평면 내에서 절대로 겹치게 할 수 없지만, 3차원적 관점에서는 '뒤집어서'  일을 해결할 수 있다. 일반적으로는 문제에서 언급하지 않아도 뒤집어서 같으면 같다고 인정하며, 출제자가 답을 더 까다롭게 하고 싶을 때 추가적으로 '뒤집기 금지'라고 써놓는 것이 좋다.

 이제 정삼각형과 정사각형의 2등분을 생각해보자.

정삼각형은 수선으로 잘라서 30-60-90 직각삼각형 두 개가 나왔고, 정사각형은 대각선으로 잘라서 두 직각이등변삼각형이 나왔다.
보면, 정사각형은 바로 겹치게 할 수 있지만, 정삼각형의 경우 자른 조각 하나를 뒤집어야 서로 겹치게 할 수 있다.
 

 위 그림은 정사각형을 체크무늬로 잘라본 것이다. 나뉘어진 두 조각은 완벽하게 똑같지만, 그 모양새가 두 정사각형이 한 꼭짓점으로 아슬아슬하게 붙어있는 상태이다. 특별히 언급이 없는 이상 이런 건 답으로 찾지 않도록 하자.


 워밍업으로 다음 문제들을 풀어보자.

1. 정삼각형을 3등분하라.     2. 정삼각형을 4등분하라.     3. 정사각형을 3등분하라.     4. 정사각형을 4등분하라.

답

 정삼각형의 3등분과 정사각형의 4등분에는 단순히 자르는 선을 중심에서 조금씩 회전시키는 것으로 무수히 많은 답을 얻어낼 수 있다.