분할-조합 퍼즐(Dissection & Put-together puzzle)

 분할은 모양을 조각조각 내는 것이고, 조합은 조각조각들을 합치는 것이다. 여기서 소개할 퍼즐들은 거의 대부분 이차원 상에 있는 다각형 조각들에 대해 다룰 것이기 때문에 기하학적 감각이 필요할 것이다. 물론 감각뿐 아니라 지식도 좀 필요하긴 한데, 다행이도 중학교 시간에 졸지 않고 수학을 잘 배웠다면 그것으로 충분하다. 허나 방심은 금물. 퍼즐의 난이도가 천차만별로 분포되어 있어서 몇몇 문제들은 중학교 수준에서 풀 수 있는게 신기할 정도이니 각오를 단단히 하는 게 좋을 것이다.

 분할 퍼즐은 주어진 도형이 선을 긋는 것으로 시작된다. 실생활과 연관되서 설명될 때는 주로 대지주의 땅을 분할하는 것으로 설명되곤 한다.  자세하게 묘사하자면, 물려받은 아버지의 땅을 그 아들들이 공평하게 나누는 것으로, 넓이만 같은걸로 해결되면 좋겠지만, 대부분은 나뉘어진 땅들이 모양도 똑같아야 한다고 조건을 달아놓는다.(합동인 도형이 되게 하라고 말 할 수 있다.) 땅과 연결된 문제인 만큰 어쩌면 고대 사람들이 살아가다가 당면했을 지도 모르는 그런 문제들을 만나보자.

 그림의 ㄴ자 모양을 4등분하라.

단, 나뉘어진 부분들은 모두 크기, 모양이 같아야 한다.

 보통의 땅들이 정사각형으로 있는데에 반해 꼭 퍼즐세계에서의 땅은 기묘한 모습을 하고 있다. 1/4크기의 한쪽 귀퉁이가 잘려나간 위의 다각형이 그러한 예인데, 2등분이나 3등분의 답은 눈에 보여도 4등분의 답은 잘 보이지 않는다. 이런 퍼즐을 푸눈 방법으로 요령것 보조선을 그어보는 방법이 있으므로 요긴하게 써먹자.


 조합 퍼즐은 여러개의 도형 조각들로부터 시작한다. 주로 쓰이는 도형들은 교과서에 나오는 기본 도형인 정삼각형, 직각이등변삼각형, 정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사변형, 사다리꼴등이다.(하지만, 별 괴상하게 생긴 모양이 튀어나와 푸는 사람을 곤혹스럽게 만들 때도 있다.) 이런 종류의 대표 주자가 바로 칠교놀이(Tangram)으로, 어렸을 때 누구나 한번씩은 보았을 만큼 매우 유명한 퍼즐이다. 기본 도형들이 모여 정사각형을 이루고 있는 것을 시작으로 사람, 고양이, 조각배등 여러 재미있는 모양들을 만들어 볼 수 있다. 참고로, 잘 세공 칠교놀이 퍼즐은 기계적퍼즐로서 좋은 상품이 된다.

 균형있게 잘 만들어진 칠교판이다. 고대인들의 지혜를 엿볼 수 있다. 참고로, 여기서 아래 주황색의 평행사변형 조각은 다른 조각들과 달리 좌우대칭이 아니므로 필요하면 뒤집어서 이용해야 합니다.

 이 외에도 12개의 펜토미노(pentomino)를 이용하는 퍼즐이나, tangram의 원리를 이용한 여러가지 퍼즐들이 만들어졌고, 몇몇개는 교육용 목적으로 주변에서 쉽게 구할 수 있기 때문에 친숙한 퍼즐이 아닌가 한다.


 이제 난이도가 몇 단계 올라간 퍼즐들을 보자. 이번에 살펴볼 것은 분할과 조합을 모두 능히 해내야 하는 것으로, 그냥 분할퍼즐로 불러도 관계는 없지만, 주어진 임무는 한 단계 상승하였다. 바로, 모양을 조각내고 그것들은 다시 짜맞추어 새로운 모양을 만드는 것이다. 실생활에서 연관되게 설명할 때는 주로 목공소에서 상황이 이루어지며, 모양이 기괴하게 남은 자투리 나무판자를 목수가 잘 잘르고 붙여서 탁자로 쓰기 좋은 모양을 만드는 것이 임무로 주어진다. 
 사실, 이런 퍼즐들에서 이상한 모양을 자르고 붙여 다른 모양으로 만드는게 가능이나 할까하고 의문을 가질 수 도 있는데, 놀랍게도 서로 넓이가 같기만 하다면 임의로 주어진 다각형을 자르고 붙여 다른 다각형으로 만들 수 있다고 수학자들이 친절하게 증명을 해주었다. (Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem이 바로 그 주인공이다.) 아무 도형이나 다 다른 도형으로 만드는 게 증명되었으므로, 이제 우리의 주안점은 얼마나 적은 수의 조각으로 일을 해낼 수 있겠느냐로 옮겨진다. 그러나 이런 퍼즐을 처음 풀 때는 적은 숫자는 켜녕 자르고 붙이는 일조차 버거울 때가 많다. 예시를 보자.

  방물장수 문제(Haberdasher's Problem), 듀드니
정삼각형을 넓이가 같은 정사각형으로 만들어라.

 당연히 정사각형을 넓이가 같은 정삼각형으로 만들라는 말과 같다. 참고로 듀드니의 답은 4조각을 필요로 했다.

 4조각은 고사하고 할 수만 있으면 그것만으로도 축하받을 일이다. 허나, 지금까지 분할퍼즐은 수없이 많이 있으며 많은 퍼즐러들이 열심히 머리를 굴려 최소횟수 분할 기록을 내놓았다. 이 일은 기하학적 지식은 물론 감각까지 총동원하여 공략해야 겨우 타이기록을 만들어 낼 정오로 악명높은 난이도를 자랑한다.


 아마 많은 연습장이 필요할 것이다.