캐스트 체인(Cast Chain) [분석]

 캐스트 체인의 공략은 두 가지로 이루어집니다. 첫째, 조각을 어떤 방식으로 움직여야 하는가? 둘째, state diagram이 어떤식으로 만들어지는가? 전자가 작은 관점의 분석이라면 후자는 거시적 관점의 분식입니다. 두가지 모두 미묘하게 까다롭기 때문에 퍼즐의 난이도가 꽤 있다고 말할 수 있습니다. 

 먼저 퍼즐을 이루는 조각들을 살펴봅시다.

 모두 세 조각으로 이루어져 있고, 구별을 위해 각 조각에는 1,2,3, 번호가 매겨져있습니다. 세 조각은 거의 똑같지만 특정부분이 서로 다릅니다. 얇은 부분을 팔, 굵은 부분을 주먹이라고 부릅시다. 2번 조각이 디폴트라고 하면 1번 조각은 팔 한군데가 직각으로 깎여있고, 3번 조각은 주먹 중간이 깎여있습니다. 사실 세 조각이 이렇게 조금씩 다르기 때문에 숫자 없이도 구분할 수 있습니다.

 조각은 적당히 정사각형 모양이고 주먹 부분이 닿을 듯 말 듯 닿지 않고 있기 때문이 C자 고리로 분류할 수 있습니다. 그래서 지금부터 이전에 논의했던 C고리의 특성을 충분히 활용하여 이야기하겠습니다. (http://puzzleresearchroom.tistory.com/entry/C%EC%9E%90-%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%9D%98-%ED%99%80%EC%A7%9D%EC%84%B1)

 우선 가장 간단한 상황, 조각이 두 개만 있는 상황을 생각해봅시다. C자 고리는 그 입이 매우 좁기 때문에 다른 굵은 부분이 통과할 수 없습니다. 따라서 자연스럽게 각 고리의 입과 입을 닿게 하는 방식으로 분리를 시키도록 하겠습니다. 입 주변이 매우 굵기 때문에 서로 직교하며 분리시킬 수 없습니다.(하나는 수평으로 눕히고 하나는 수직으로 세워서 분리시킬 수 없다는 뜻입니다.) 남은 가능성은 두 조각을 모두 눕혀 분리시키는 것입니다.

 위 그림과 같이 회색 조각을 고정시키고 흰색 조각을 움직여 좁은 부분들을 맞추면 됩니다.

 이제 조각 세 개가 엮여 있는 상황을 생각해봅시다.  

 두 조각이 분리되는 동안 다른 하나의 조각이 어딘가에 비켜줘야하는데 문제는 조각이 작아서 공간이 남지 않는다는 것입니다. 방법은 두 가지 입니다. 첫째, 그나마 남는 공간(중앙공간)으로 다른 하나의 조각을 배치시킨다. 둘째, 3번 조각의 깎인 공간을 이용한다. 특히 두번째 방법에서는 3번 조각의 깎인 부분마저 작기 때문에 1번 조각의 깎인 부분을 이용하는 수 밖에 없습니다. 이상을 그림으로 그리면 아래와 같이 됩니다.

 첫번째 방법에서 가장 검은 조각을 살펴봅시다. 이 조각이 회색과 하얀색 조각이 분리되도록 빈 공간으로 이동하기 위해서는 이미 그 두 조각들과 결합되어있어야 합니다. 정리하면 첫번째 방법은 [흰, 회, 검은색 조각이 서로 모두 결합된 상태]에서 [흰, 회색만 분리되고 검은색 조각은 연결된 상태]로 움직일 때만을 설명하고 있습니다. 굉장히 기묘한 움직임이라 할 수 있겠습니다.(이 움직임을 반대로 얘기하면 흰-검, 검-회 가 연결된 상태에서 흰-검, 검-회, 회-흰 이 연결된 상태로의 변환이 됩니다.)

 두번째 방법, 즉 1번 조각과 3번 조각의 깎인 부분을 붙이는 방법을 쓰면 2번 조각이 곧장 분리되고 직후 바로 1,3번도 분리시킬 수있다는 것을 알 수 있습니다. 문제는 제일 처음 상태가 1번과 3번이 분리되어있다는 점이지요. 고로 시작하자마자 이 방법을 쓸 수 없습니다. 우리는 처음 퍼즐을 풀 때 첫번째 방법을 쓸 수 밖에 없으며 이는 곧 아이러니하게도 조각을 풀기 위해 처음 해야하는 일이 분리된 조각들을 묶어야 한다는 것을 말해줍니다.

 

 결국 우리는 첫번째 방법을 면밀히 분석해야 합니다.

 

 제일 먼저 첫번째 방법을 통해 실제로 조각들을 연결, 분리시키는 법을 봅시다. 이것을 적는 이유는 생각과 달리 이 움직임이 잘 안 되기 때문입니다. 그냥 두 조각을 연결시키려고 하면 이상하게 어딘가 꽉 껴서 잘 되지 않습니다. 그 이유는 이 움직임이 사실 조각들이 동시에 움직여야 쉽게 이루어지기 때문입니다. 처음 퍼즐을 풀 때 보통 왼손이 하나, 오른손이 하나를 쥐고 남은 한 조각은 방치하기 때문에 일어나는 일입니다.

 필자가 개인적으로 잘 쓰는 방법은 위와 같습니다. 흰색을 고정시키고 검은색을 45도 회전시키는 동안 회색을 평평히 눕히며 135도를 돌립니다. 그 상황에서 흰색 조각을 앞뒤로 살살 흔들면 더욱 좋습니다. 최종적으로 어느 유명 브랜드 모양이 나오면 됩니다. 이는 필자의 방법이며 이 이외에도 3중결합을 만드는 방법은 다양하게 있습니다.(가장 많이 쓰는 방법이 두 조각을 잡고 이리저리 흔들며 집어넣는 법입니다. 흔히 말하는 '흔들다보니 들어갔다' 전략이지요.)

 이제 이 3중결합을 살펴봅시다.

 3중결합은 언뜻 복잡해보이나 실은 매우 대칭적인 모양을 하고 있습니다. 위 그림에서 알 수 있듯이 약간의 회전을 통해서 아무 조각이나 가운데에 오게 할 수 있습니다. 그러고나서 결합을 역으로 풀면 새로운 체인, 즉 1번이나 3번이 가운데에 오는 상황을 만들 수 있습니다! 이 모든 과정 속에서 조각 하나가 완전히 분리된 적이 단 한번도 없다는 점을 주목하세요. 이 퍼즐의 가장 아름다우면서도 놀라운 부분입니다 

 여기까지를 종합하면,

[A-B-C 상태에서 3중결합 상태로 바꾸고, 다시 결합을 품으로써 B-C-A 내지는 C-A-B상태로 만들 수 있다.]

 이런 방식으로 묶고 풀고를 반복하면 어느 순간 1번조각과 3번조각의 깎인 부분을 붙일 수 있고 그렇게 되면 해결입니다.

 마지막으로 state diagram을 만들어봅시다. 이를 위해서는 C자 고리의 홀짝성이 무엇보다도 중요합니다. 다시 두 조각만 있는 상황으로 돌아갑니다.

 1번과 2번이 결합된 상태입니다. 언뜻 보기에 똑같은 상황인 것 같지만 실제로는 C자 고리의 홀짝성으로 인해 생긴 서로 다른 상황입니다. 이 둘을 구별만 해도 퍼즐 속 수수께끼를 반은 푼 것이나 마찬가지입니다.

 편의상 왼쪽처럼 숫자점이 한 뱡향에 있으면 +, 오른쪽처럼 다른 방향에 있으면 -, 그리고 두 조각이 분리되어있으면 0으로 적습니다. (주의: C자 고리가 하나라도 회전하면 상황이 역전되기 때문에 고리 하나를 고정시키고 어디가 위인지 정확이 살피는 것이 중요합니다.)

 예시를 통해 +0-기호를 살펴봅시다. 

 1번과 2번의 결합상태, 2번과 3번의 결합상태, 그리고 3번과 1번의 결합상태 순으로 기호르 적습니다. 그러면 처음 상태의 경우 ( + , - , 0 )가 됩니다. 여기서 움직일 수 있는 부분은 1번과 3번인데 2,3번을 +로 결합하거나 -로 결합할 수 있습니다. 그 와중에 1,2번의 결합상태나 2,3번의 결합상태는 변하지 않으므로 ( + , - , + ) 혹은 ( + , - , - )으로 상태를 바꿀 수 있습니다.

 ( + , - , + )는 삼중결합인데 1,2든, 2,3이든, 3,1이든 아무거나 하나 분리시킬 수 있으므로 ( 0 , - , + ), ( + , 0 , + ), 혹은 ( + , - , 0 )으로 상태를 바꿀 수 있습니다.

 이런 식으로 길을 추적해가면 총 상태수는 체인 상태가 12개, 삼중결합상태가 8개로 총 20개가 됩니다.(체인상태: 체인 가운데에 올 수 있는 조각의 수 3, 가운데 조각과 왼쪽조각의 결합상태(+-) 2, 가운데 조각과 오른족 조각의 결합상태(+-) 2 -> 3*2*2=12 / 삼중결합상태: 1번과 2번조각의 결합상태(+-) 2, 2번과 3번조각의 결합상태(+-) 2, 3번과 1번조각의 결합상태(+-) 2 -> 2*2*2=8)

 state diagram은 정확하게 정육면제모양이 되고 체인 상태가 모서리를, 삼중결합상태가 꼭짓점이 됩니다.

시작 지점은 (+,-,0), 끝지점은 (0,-,-)입니다.(끝지점의 경우 3번 그림 참조) 고로 3중결합상태를 (+.-.-)로만 만들면 금방 해결할 수 있습니다.

 최종 해법:

1. 처음 1-2-3순으로 체인이 있다.

2. 1번과 3번 조각을 엮는다. 이때 (-) 상태로 엮어야 한다.

3. 3중결합상태에서 1번과 2번 조각을 푼다. 그러면 1-3-2순이 된다.

4. 1번조각과 3번조각의 깍인 부분을 서로 붙인다.

5. 2번과 3번을 분리시킨다.

6. 1번과 3번을 분리시킨다.

끝