캐스트 디스크 (Cast Disk) [분석]

 캐스트 디스크는 Route-Finding 퍼즐입니다. 따라서 Cast Plate나 Cast Cuby와 같이 State Diagram을 그려서 그 미로를 확인하는 것이 좋은 방법이 될 것입니다...만, 이 퍼즐에서는 조금 색다른 State Diagram을 선보이도록 하겠습니다.

 우선 각 구멍마다 번호를 매겨야겠지요? 편의상 ⓒHANAYAMA가 새겨진 디스크를 B, 그렇지 않은 디스크를 A라고 놓겠습니다. 그리고 중앙으로 깊게 U자 형으로 패인 구멍을 1로 시작하여  」「 과 같이 홈이 난 구멍까지 시계방향으로 7까지 매깁니다.

1~6번 구멍은 모두 ][와 같이 되있으므로 쉽게 7번을 알 수 있습니다.

 처음은 그림에서처럼 시작할 것입니다. 하나야마 로고가 오른손에 바로 보이게 쥡니다. (만약 이 상태에서 A가 아래 그림과 맞지 않다면  글 제일 아래 문단을 참고하고 읽으세요)

 퍼즐의 움직임은 A를 시계/반시계방향, B를 시계/반시계방향입니다.

 퍼즐의 현위치는 두 홈의 결합으로 표현되므로 자연스럽게 순서쌍을 도입합니다. 즉 (A의 홈 숫자, B의 홈 숫자)식으로 표현합니다. 지금은 A, B 둘다 1번 홈에 엮여있으므로 시작은 (1,1)이 됩니다. 마찬가지로, 7번 홈에서 퍼즐이 빠져나가므로 나가는 길은 (7,7)이 될 것입니다.

 퍼즐은 디스크의 회전에 의해 홈에서 홈으로 이동하므로, 순서쌍을 생각하면 (1,1)에서 (1,2)나 (2,1)식으로 움직이게 됩니다. A가 세로축, B가 가로축인 좌표평면을 생각하면 이 움직임은 항상 격자점을 따라 이동한다는 것을 알 수 있습니다. (격자점이란 두 좌표가 모두 정수인 점들을 말합니다.)

 그러므로 좌표평면을 그리고 한 격자점에서 다른 격자점으로 이동할 수 있는지 하나하나 체크해주시면 쉽게 State Diagram을 그릴 수 있습니다. 

 마치 2차원 미로같은 모습입니다. 다른 모습이 있다면 주변을 감싸는 벽에 구멍이 숭숭 뚫여있는 것입니다. 이는 왜인가하니, 디스크가 회전을 하다보면 7번 홈에서 한바퀴 돌아 1번홈으로 돌아올 수 있기 때문입니다. 결국 구멍이 뚫린 것이 아니라 반대편으로 이어져있는 상태입니다. 참고로, 이러한 표면은 수학적으로는 원환면, 혹은 토러스(Torus)라고 부릅니다.

 이것이 이해하기 어렵다면, 아래 그림으로도 이해할 수 있습니다. ...->1->2->...->7->1->2->...으로 무한히 돌아가므로 아래 그림과 같은 무한한 평면을 만들 수 있습니다.

 State Diagram을 다 그렸으므로 이제 길을 찾아봅시다. 출발점(S)에서 길을 찾다보면 무조건 중앙의 넓은 홀(위 그림에서 중앙 2*2 빈 곳입니다)로 향하게 됩니다. 탈출구(G)역시 거꾸로 길을 그려 가장 짧은 길을 만드는 교차점을 찾으면 다음과 같이 됩니다. (사진은 중요한 길만 보이게 7*7 정사각형으로 잘랐습니다.)

 그림속 미로에서 아래로 이동하는 것은 A를 1->2->...->7방향으로 움직인다는 것이므로 A를 시계 반대방향으로 움직여 지나갑니다. (두번째 그림처럼 쥔 상태에서 조각을 움직이는 것입니다.) 비슷한 원리로 상하좌우의 움직임은 각 디스크의 회전으로 변환할 수 있습니다. 길을 따라 차분히 디스크를 돌려가면 끝내 풀어낼 수 있을 것입니다.

 결합하는 것은 분리할 때의 반대로 하면 되지만, 무턱대고 7번 홈끼리 끼워마추면 뭔가 맞지 않는 결과를 얻을 수도 있습니다.

사진 왼쪽이 두번째 그림을 잘 풀었을 때 모습입니다. 저대로 쏙 하고 풀리는 데, 그 상태에서 A조각을 뒤집으면 또 그렇게 다시 집어넣을 수 있습니다. 그것이 오른쪽 사진의 모습입니다. A조각이 뒤집혀 U자 홈이 아래에서 위로 간 것을 알 수 있습니다.

 오른쪽 그림처럼 결합하면 State Diagram이 완전히 달라집니다. 앞서 말했던 과정을 다시 밟아 미로를 한 번 더 그리면 아래 그림과 같이 됩니다.

 남은 궁금증은 과연 무엇이 원래 상태였느냐 입니다. 일단은 제가 가지고 있던 상태를 기준으로 글을 풀어냈지만, 혹여나 그게 뒤집힌 상태일수도 있지 않을까 하고 글 말미에 문득 생각이 드는군요... 설마설마합니다만, 확인될 때 까지는 보류합니다~!