정사각형 속 1,2,3

 정사각형 ABCD안에 점 P가 있다. 이 점은 A로부터 1, B로부터 2, 그리고 C로부터 3만큼 떨어져있다. 이 때 각 APB는 얼마인가?

 어김없이 찾아온 간단하면서도 안 풀리는 문제이다. 

 좌표를 이용하거나 삼각함수같은 고등수학을 이용해야 할 것 같지만 Murray Klamkin의 풀이에 따르면 기초적인 방법(중등수학?!)만을 사용하는 것으로 족하다. 풀 수 있겠는가?

1차 출처 R. Honsberger, More Mathematical Morsels, MAA 1991

2차 출처 Cut-The-Knot https://www.cut-the-knot.org/proofs/swivel.shtml

'재미있는 영재들의 수학퍼즐2'(박부성 지음) 에서도 찾아볼 수 있습니다.

정답 및 풀이

답은 135도이다.

 문제를 푸는 테크닉은 동일한 그림을 회전복사하는 것이다!

 정사각형 ABCD를 복사해 B를 중심으로 왼쪽으로 90도 돌린다. 새로 생긴 점들에 '을 붙이면 좌측점들의 이름은 D', A'이 되고 내부점은 P'가 된다. 복사했으므로 A'P'=1, BP'=2, AP'=3이 된다. 

 이제 회전복사의 가장 특징적인 부분을 살펴봐야한다. 정사각형 전체가 90도 회전했으므로 내부점 P도 90도 이동한게 분명하다. 따라서 각PBP'은 90도가 된다. 여기에 BP=BP'=2, 즉 길이가 보존되므로 삼각형 PBP'은 직각이등변삼각형이 된다! 매우 중요한 사실이다.

 위 사실에서 각P'PB는 45도, 변PP'는 2√2가 된다.

 이제 삼각형 APP'을 살펴보자. 길이가 매우 미묘하다. 3^2=1^2+(2√2)^2. 9=1+8. 역피타고라스정리에 의해 각APP'은 직각, 90도가 된다. 

 모든 것이 밝혀졌다. 각P'PB+각APP'=각 APB = 45+90 = 135.