정사각형으로 이루어진 직사각형

 위 그림과 같이 정사각형 9개로 이루어진 직사각형이 있다. 가장 작은 정사각형의 넗이가 1일때 이 전체 직사각형의 넓이는?

'산수 100가지 난문.기문 3'(나카무라 기사쿠 지음)에 있던 문제를 약간 더 어렵게 바꾸었습니다.

정답 및 풀이

 전체 직사각형의 넓이는 1056이다.

 문제를 푸는 방법은 어떤 길이를 미지수로 두고 어디서부터 접근하느냐에 따라 수십가지가 나오지만 필자가 가장 선호하는 풀이는 다음과 같다.

 먼저 가장 작은 정사각형 바로 위 정사각형의 한 변의 길이를 x라고 하자.

(그림1)이 정사각형부터 시작이 넓이 1의 정사각형을 시계반대방향으로 돌면 ?+x=(x+3)+1이란 식을 얻는다. 고로 ?=4

(그림2)이제 길이4의 정사각형을 중심으로 x+3정사각형부터 시작해 시계반대방향으로 돌면 (x+11)+4=?+x란 식을 얻는다. 고로 ?=15

(그림3)그런데 오른쪽 위 정사각형을 주목하면 15=x+(x+1)이므로 x는 7이 된다.

그러면 이제 모든 정사각형의 길이를 알 수 있으므로 직사각형의 넓이도 구할 수 있다. 

 가로 = (x+11) + 15 = 33

 세로 = (x+11) + (x+7) = 32

-> 넓이 = 32×33=1056

 참고로 위 직사각형은 현재까지 발견된 가장 작은 완전 직사각형(Perfect Rectangle)이다. 완전직사각형이란 위에서 보듯이 서로다른 정사각형으로 쪼갤 수 있는 직사각형을 의미한다.(스포일러 주의, 출처http://mathworld.wolfram.com/PerfectRectangle.html)