여기서 미쳤다고 함은 완전히 진실을 착각한다는 것으로, 그들은 모든 거짓을 믿고, 거꾸로 그들이 믿는 모든 것은 향상 거짓이다. (이를테면 0=100이다, 2+2=5이다, 지구는 네모다 등등)
물론, 나머지 절반은 정상이며 그들은 모든 진실을 믿고, 거꾸로 그들이 믿는 모든 것은 진실이다.
이제 하트왕과 하트여왕을 살펴보자.
여왕이 미쳤다고 왕은 생각한다고 여왕은 생각한다고 왕은 생각한다고 여왕은 생각한다.
(The queen believes that the King believes that the Queen believes that the King believes that the Queen is mad.)
그렇다면 하트여왕은 미쳤는가? 하트왕은 어떠한지 알 수 있는가?
출처: Alice in Puzzleland, by Raymond M Smullyan
정답 및 풀이
우선 문제의 조건에서 다음을 알 수 있다.
1) A가 정상이고 A가 X를 믿으면 X는 진실이다.
2) A가 비정상이고 A가 X를 믿으면 X는 거짓이다.
3) A가 정상이고 A가 X를 믿지 않으면 X는 거짓이다.
4) A가 비정상이고 A가 X를 믿지 않으면 X는 진실이다.
문제의 구조를 단순화하기 위해 P Q, R, ... 과 같은 기호를 이용하자.
P: 여왕은 미쳤다.
Q: P라고 왕은 생각한다.
R: Q라고 여왕은 생각한다.
S: R이라고 왕은 생각한다.
T: S라고 여왕은 생각한다.
여기서 T가 우리에게 주어진 문장이다.
이제 네가지 가능성을 따져보자.
- 왕과 여왕 모두 정상
T: S라고 여왕은 생각한다.
-> S는 참 -> R이라고 왕은 생각한다. 는 참
-> R는 참 -> Q라고 여왕은 생각한다. 은 참
-> Q는 참 -> P라고 왕은 생각한다. 는 참
-> P는 참 -> 여왕은 미쳤다. 는 참
그런데 여왕이 정상이라고 처음 가정했으므로 모순이다.
- 왕은 비정상, 여왕은 정상
T: S라고 여왕은 생각한다.
-> S는 참 -> R이라고 왕은 생각한다. 는 참
-> R는 거짓 -> Q라고 여왕은 생각한다. 은 거짓
-> Q는 거짓 -> P라고 왕은 생각한다. 는 거짓
-> P는 참 -> 여왕은 미쳤다. 는 참
그런데 여왕이 정상이라고 처음 가정했으므로 모순이다.
- 왕은 정상, 여왕은 비정상
T: S라고 여왕은 생각한다.
-> S는 거짓 -> R이라고 왕은 생각한다. 는 거짓
-> R는 참 -> Q라고 여왕은 생각한다. 은 참
-> Q는 거짓 -> P라고 왕은 생각한다. 는 거짓
-> P는 거짓 -> 여왕은 미쳤다. 는 참
이것은 처음 가정과 부합한다.
(2017.10.19 수정)
- 왕은 정상, 여왕은 비정상
T: S라고 여왕은 생각한다.
-> S는 거짓 -> R이라고 왕은 생각한다. 는 거짓
-> R는 거짓 -> Q라고 여왕은 생각한다. 은 거짓
-> Q는 참 -> P라고 왕은 생각한다. 는 참
-> P는 참 -> 여왕은 미쳤다. 는 참
이것은 처음 가정과 부합한다.
- 왕과 여왕 모두 비정상
T: S라고 여왕은 생각한다.
-> S는 거짓 -> R이라고 왕은 생각한다. 는 거짓
-> R는 참 -> Q라고 여왕은 생각한다. 은 참
-> Q는 거짓 -> P라고 왕은 생각한다. 는 거짓
-> P는 참 -> 여왕은 미쳤다. 는 참
이것은 처음 가정과 부합한다.
따라서 여왕이 정상이라는 가정은 모두 배제된다. 고로 여왕은 미쳤다. 그러나 왕의 정상, 비정상 유무는 알 수 없다. 모든 경우가 다 성립하기 때문이다.
(2017.10.19) 추가)
규칙성을 이야기해본다. 참을 숫자1, 거짓을 숫자 -1이라고 하자. 문장 Y가 '철수는 X라고 생각한다'라고 하자. 철수가 정상이라면 X의 진리치와 Y의 진리치는 같다. 이는 Y의 진리치에 1을 곱해 X의 진리치를 얻는 것과 같다. 철수가 비정상이라면 X의 진리치는 Y의 진리치와 같지 않다. 이는 Y의 진리치에 -1을 곱해 X의 진리치를 얻는 것과 같다.
철수가 정상이면 철수=1, 철수가 비정상이면 철수=-1이라고 하자. 이제 우리는 공식을 얻는다.
X의 진리치 = Y의 진리치 × 철수
이제 T부터 P까지의 문장 사다리를 보자.
Q: P라고 왕은 생각한다.
R: Q라고 여왕은 생각한다.
S: R이라고 왕은 생각한다.
T: S라고 여왕은 생각한다.
공식을 이용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
P의 진리치 = T의 진리치 × 여왕 × 왕 × 여왕 × 왕
그런데 1이든 -1이든 제곱하면 1이된다. 결국 P의 진치리 = T의 진리치.
T는 주어진 '사실'이므로 P도 사실이다. 결국 여왕은 미쳤다. 즉 비정상이다.(왕의 경우 판별할 수 없다.)
