편향된 동전

 우리는 보통 동전의 앞뒤가 각각 50%확률로 나온다고 가정한다. 하지만 실제 동전의 경우 매우 미세한 차이로 50%가 되지 않는 경우가 많다. 이번 글에서 다룰 주제는 바로 이런 편향된 동전이다.

(사진은 구글에 동전 던지기를 겸색한 뒤 나오는 모습을 찍은 스크린샷이다.)

 어느 축구팀 A와 B가 동전던지기로 선공을 정하기로 하였다. 문제는 이 축구팀이 가진 동전이 아주 약간의 편향이 있다는 것이다. 이 편향이 어느정도인지는 전혀 알 수 없는 상태에서 축구팀들은 완벽한 50:50의 확률로 선공을 가리기를 원한다. 어떻게 해야하는가?

풀이

동전에 편향이 있어 한 번 던지는 것으로는 50%가 나오지 않는다. 따라서 우리는 동전을 두 번 던짐으로서 일을 해결하려한다.

편의상 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 하자. 다음과 같은 네 가지 경우가 가능하다.

HH, HT, TH, TT

동전의 앞면이 나올 확률이 p이고, 뒷면이 나올 확률이 1-p라면 HT가 나올 확률과 TH가 나올 확률은 모두 p(1-p)이다. 따라서 다음과 같은 알고리즘은 두 팀에게 정확히 50대 50의 확률을 준다.

1) 동전을 두 번 던진다.

2) HT가 나오면 A팀이 선공

3) TH가 나오면 B팀이 선공

4) HH나 TT가 나오면 결과를 무시하고 (1)로 돌아간다.

Alex Bellos의 'Can you solve my problems?'(국내번역명: 이 문제 풀 수 있겠어?) 책에 따르면 이 문제는 헝가리 수학자 존 폰 노이만에 의해 제기되고 해결되었다고 한다.