탁자위에 물이 담긴 컵 두 개가 놓여있다. 각 물은 맹물이거나 소금물인데 그 확률은 모두 50%로 동일하다. 따라서 두 컵에 모두 소금물이 담겨있을 확률은 1/2×1/2=1/4, 즉 25%이다.
철수, 영수, 민수 세 학생은 약간의 조사를 거쳐 최소한 한 물은 소금물인지 확인하고 두 물 모두 소금물이 될 가능성이 높은지 생각해보기로 하였다.
1. 철수는 두 물을 섞은 뒤 마셔보기로 하였다. 만약 철수가 짠 맛을 느꼈다면, 두 물이 모두 소금물일 확률은 얼마가 되는가?
2. 영수는 임의로 한 컵을 택해 마셔보기로 하였다. 만약 영수가 짠 맛을 느꼈다면, 두 물이 모두 소금물일 확률은 얼마가 되는가?
3. 민수는 왼쪽에 놓인 컵을 택해 마셔보기로 하였다. 만약 민수가 짠 맛을 느꼈다면, 두 물이 모두 소금물일 확률은 얼마가 되는가?
매우 간단해 보이지만 어딘가 함정이 숨어있는 조건부확률문제이다.
시음하기 전, 두 컵은 (맹,맹), (맹, 소금), (소금,맹), (소금,소금)의 상태 중 하나이다.
1. 섞어 마신 후 짠 맛이 났으므로 오직 (맹,맹) 상태만이 제외된다. 따라서 전체는 3( (맹, 소금), (소금,맹), (소금,소금) ), 그 중 둘 다 소금물인 경우는 하나이므로 확률은 1/3이다.
2. 선택까지 고려한 전체경우는 8가지이다. (좌선택 또는 우선택) × ((맹,맹), (맹, 소금), (소금,맹), 또는 (소금,소금)) = 2 × 4 =8.
이 중 영수가 짠 맛을 느끼는 경우는 총 4가지로 좌선택(소금,맹), 좌선택(소금,소금), 우선택(맹,소금), 우선택(소금,소금)이고, 이 중 모두 소금물인 경우는 좌(소금,소금), 우(소금,소금)의 2가지이므로 조건부확률은 2/4=1/2이다.
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3.. 왼쪽 컵이 소금물이므로 남는 경우는 (소금,맹), (소금,소금)이다. 그 중 둘 다 소금물인 경우는 하나이므로 확률은 1/2이다.
특이한 점은 다음 두가지이다.
첫째, 철수와 영수 모두 짠 맛을 느꼈다고 가정하자. 그들 모두 최소한 한 물은 소금물임을 확인했을것이다. 그러나 조사방법이 다르기 때문에 한 학생으로부터 '최소한 한 물은 소금물이다.'라고 들어도 그걸 바탕으로 모두 소금물일 확률을 추론해내기 어렵다.
다시 적으면 철수의 조건부확률은 1/3, 영수는 1/2이다.
둘째, 영수는 임의로 한 컵을, 민수는 지정된 한 컵을 선택했다. 이 차이가 서로다른 확률을 만들어 낼 것 같지만 실제로는 모두 1/2로 같다.
영수의 조건부확률은 다음과 같이 해석될 수도 있다.
'영수가 임의로 선택한 한 컵이 이미 소금물이기 때문에, 둘 다 소금물인가는 오직 마셔보지 못한 컵의 상태에 의해 결정된다. 그 컵이 소금물일 확률은 이미 50%라고 제시되어있으므로 답은 50%=1/2이다.'
