한번이라도 긁어서 당첨되는 복권을 사본 사람은 다음과 같이 생각한 적이 있을 것이다. '이거 시중에 돌아다니는 거 다 사면 100%당첨 아닌가?' 그러다가 현실적인 문제에 부딪친 뒤 다음과 같이 생각하게 될 것이다. '적당히 많이 사면 꽤 당첨확률이 커지지 않을까?' 그렇게 자연스럽게 얼마나 사야 당첨될 지 고민하게 된다.
비단 복권만의 문제는 아니다. '농구선수가 자유투를 성공시키려면 평균적으로 얼마나 많이 슛을 쏴야 하는가?' 또는 '랜덤박스를 얼마나 많이 사야 그 중에 하나 상품이 있을 것인가?'등등 어떤 일을 얼만큼 반복해야 성공할 지, 그 기대값을 구하는 일은 생활 곳곳에 숨어있다.
편의를 위해 주사위로 대체하여 문제를 만들어보자.
각 면의 확률이 1/6인 주사위가 있다. 이 주사위를 굴려 1의 눈을 보려면 평균적으로 몇 번 굴려야 하는가?
확률이 1/6, 즉 6번 중에 한 번이라는 뜻이다. 자연스럽게 6번 정도 굴리면 한 번 나오겠다는 직감이 든다. 실제로 이것이 맞는지 확률분포를 이용하여 풀어보자.
한 번만 굴려 바로 성공할 확률은 1/6,
두 번 굴려 마지막에 성공할 확률은 처음 실패하고(5/6), 그 다음 성공(1/6)해야하니까 5/6*1/6.
세 번 굴려 마지막에 성공할 확률은 처음과 두 번재 실패하고(5/6*5/6), 그 다음 성공(1/6)해야하니까 ((5/6)^2)*1/6.
...
이렇게 무한한 가능성이 존재한다. 한 100번, 1000번 굴리면 당연히 1이 나오지 않을까싶지만 매우 엄청나게 극악의 확률로 실패할 가능성까지 모두 확실하게 고려해주어야한다.
이를 확률분포표로 만들면 다음과 같이 된다.
X |
1 |
2 |
3 |
... |
P(X) |
1/6 |
5/6*1/6 |
((5/6)^2)*1/6 |
... |
여기서 X=n은 n번 굴려 마지막에 성공하는 경우를 의미한다.
그러면
가 된다.
고로 기댓값은
가 된다. 이는 멱급수계산을 통해 쉽게(?) 구할 수 있다.
6E(X)=1+2(5/6)+3(5/6)^2+...
6E(X)*5/6=5E(X)= (5/6)+2(5/6)^2+...
-> 6E(X)-5E(X)=1+ (5/6)+ (5/6)^2+...
-> E(X)=1/(1-5/6)=6
마지막은 무한등비급수 공식 a/(1-r)을 이용하였다.
무튼, 중요한 것은 실제로 6이 나왔다는 것이다. 그러나 수학적으로는 좋아보일 지 몰라도 퍼즐적으로는 전혀 좋아보이지 않는다. 혹시 다른 방법으로 더 짧게 기댓값을 구할 수 있겠는가? 힌트는 '큰 수의 법칙'이다.
Peter Winkler의 Mathematical Puzzles, A Connoisseur's Collection에서 논의를 가지고 왔습니다.
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