중학교 수학시간, 다들 2학기 즈음에 기하를 배우는 것으로 기억한다. 초등학교 때보다 조금 더 심화되어 기하의 기초적 성질, 이를테면 삼각형, 사각형의 넓이, 합동과 닯음, 원의 성질, 피타고라스의 정리등을 배웠지싶다. 고등학교로 넘어오면 좌표평면과 삼각비라는 무시무시한 도구를 이용하여 거의 대부분의 평면도형을 다룰 수 있게 되지만, 그렇게되면 매우 전문적인 곳까지 파고들기 때문에 개인적으로는 중등기하까지가 어떤 퍼즐적인 마지노선이라는 생각이 든다.
이번에 보여줄 문제는 보통은 고등학교 수학으로도 풀지만, 중학교 때 배운 지식으로도 충분이 답을 찾을 수 있음을 보여주고싶어 소개한다.
중학교 때 처음으로 피타고라스의 정리에 대해 배우면서 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 넓이가 √3/4임을 알게된다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넒이는, 가르칠 필요도 없이 당연히 1이다. 그러나 한 변이 1인 정오각형의 넓이에 대해서는 많은 학생들이 들어보지 못했을 것으로 생각한다. (한 변이 1인 정육각형의 넓이에 대해서는 들었을 수도 있을 것 같다. 그 넓이는, 삼각형 6개가 합쳐진 것이므로 3√3/2이다.)
그래서 문제, 한 변이 1인 정오각형의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까?
풀이
기하는 늘 보조선이 생명이다. 다음과 같이 정오각형에 보조선을 긋자.
윗각이 108도인 이등변삼격형의 밑각은 36도이다. 정오각형에 선을 그으면 바로 그 이등변삼각형이 되므로 각들을 쉽게 계산할 수 있다. 계산하면, 108-2*36=36이므로 보조선들을 정오각형의 한 각을 3등분함을 알 수 있다. 이 독특한 성질덕분에 우리는 서로 닮은 이등변삼각형 2개를 찾을 수 있다. ABC와 ABD가 그것이다.
닮은비를 추적하여 변 BD의 길이 x를 구하자. AB:AC=BD:AD -> 1:1+x=x:1
따라서 x^2+x-1=0이라는 이차방정식을 얻는다. 근의 공식을 쓰면 x=(√5-1)/2라는 양수를 얻는다.
그러면 삼각형 ABD의 모든 길이를 알기에 A에서 BD로 내린 수선의 길이역시 (피타고라스의 정리를 이용하면) 알 수 있다.
그러니, 일단은 삼각형 ABD의 넓이를 s라 부르겠다.
삼각형 ABD와 ADC는 높이를 서로 공유하고 밑변이 x:1이다. 따라서 삼각형 ADC의 넓이는 s*2/(√5-1)=s*(√5+1)/2가 된다. 수학에서는 저 (√5+1)/2라는 무리수를 특별이 황금비(Golden Ratio)라 하고 φ(phi, 파이)라 부른다. 그렇게 표현하면 삼각형 ADC의 넓이는 φs가 된다.
마지막 합산이 남았다. 정오각형의 넓이는 위의 그림과 같이 적절히 쪼갤 수 있으므로 S=s+3*φs=(1+3φ)s가 된다.
이 쯤되면 s가 얼마일지 궁금하다. 그래야 식에 집어넣어 S를 구할 수 있기 때문이다. 그렇지만, 어디까지나 이것은 산수이기때문에 여기서는 계산과정을 생략한다.(보통 수학자들이 계산을 생략한다는 것은 그 과정이 많이 복잡하고 지루하다는 뜻이다.) 황금비 φ에 대한 적절한 트릭을 쓰면 정오각형 전체의 넓이 S는 φ에 대한 간단한 식으로 표현된다.
이리하여 한 변이 1인 정오각형의 넓이를 구할 수 있다.
P.S. φ에 대한 적절한 트릭이란 φ^2=φ+1, φ^(-1)=φ-1을 이용하는 것이다. 이것들을 잘 이용하지 못하면 근호(root)지옥을 경험할 수 있으니 주의!
