상자속에 숨겨진 각도

 정육면체 나무상자가 있다. 노란 선으로 칠해진 각도는 각각 얼마일까?

 

 

 

 좌측의 그림은 정육면체의 꼭지점을 이은 것이고, 우측의 그림은 정육면체의 모서리의 중점을 이은 것이다.

 

참고한 도서 : 이야기 수학퍼즐 아하(원제 : Aha Insight, 마틴 가드너 작) 중

 -미스 유클리드의 정육면체(p204-207) 편

물론 다른 퍼즐 책에도 종종 나온다.

 

 

해답 및 해설

머리속에서 답이 곧장 나오지 않는 이유는 위 그림이 사투상법으로 그려져 있기 때문이다.

 

사투상법이란 물체의 정면을 그리고 , 일정 각도만큼 위로 올려 (혹은 아래로 내려) 안쪽 길이를 표현하는 투상법이다. 주로 45도 각도로 깊이감을 표현한다.

사투상법은 물체의 정면을 정확히 알 수 있어서 좋지만, 그 대신 깊이 부분에서 각이 나오지 않게 된다. 구(球)를 그려보면 그림이 일그러지는 것을 쉽게 알 수 있다.

 

때문에 노란 선으로 그려진 각도를 쉬이 알 수 없었던 것이다.

 

 

따라서 위 그림을  등각투상도로 그려 이해해보자.

 

등각투상법은 한 평면상에 있어서, 마치 3방향에서 본 것처럼 입체적으로 그리는 것을 말한다. 등각(等角)이라는 말에서 알 수 았듯이 등각추상법으로 그린 그림의 각 축은 모두 상 위에서 120도의 각도를 이루고 있다.

등각투상법이 좋은 이유는 물체가 보이는 그대로를 쉽게 표현할 수 있기 때문이다.

 

 

각설하고, 첫번째 그림부터 다시 그리면,

 

 

보조선을 그으면 노란 선이 정삼각형을 이룸을 알 수 있다. 따라서 각도는 60도이다.

 

두번째 그림을 다시 그리면,

 

 

이번에도 적절히 보조선을 그리면 노란 선이 정육각형을 이룸을 알 수 있다. 따라서 각도는 120도이다.