산술평균과 기하평균

 평균의 사전적 정의를 보면 '여러 사물의 각각 다른 질이나 양을 고르게 한 것'이라고 나와있다. 예로 각 반 학생들의 키 평균이라든지, 어떤 강의 수심의 평균을 들 수 있다. 평균에는 여러가지 종류가 있지만, 여기서는 수학에서 자주 언급되는 산술평균(Arithmatic Mean)과 기하평균(Geometric Mean)을 보자.

 산술 평균
각 양수들을 다 더하여 그 개수로 나눈 값이다.

일상에서 평균이라 말할 때 쓰는 것이 바로 이 산술평균이다. 따라서 더 이상 언급하지 않아도 될 것이다.

 기하 평균
각 양수들을 다 곱하여 그 개수로 제곱근을 씌운 값이다.

기하평균은 간단히 산술평균에서 합이 곱으로, 나눗셈이 근호로 바뀐 것이다. 기하학적인 측면에서 볼 때, 각 변이 a, b, c인 직육면체와 체적이 같은 정육면체는 한 변을 a, b, c의 기하평균, 즉 (abc)^(1/3)으로 가진다. (변량의 수가 늘어나도 같은 방식으로 초차원 입방체를 생각하면 된다.)


 그렇다면 산술평균과 기하평균간의 관계는 어떻게 될까?  재미있게도 산술평균이 기하평균보다 항상 크거나 같다.

이 절대부등식을 산술기하평균 부등식(AM-GM Inequality)으로 부르며, 양수가 들어가는 여러가지 부등식에서 다양한 용도로 활용된다.

 일반적인 경우의 증명은 어려우나, 두 양수 a와 b만 있는 경우에 대해선 단 몇줄로 쉽게 증명할 수 있다.

 위의 산술적인 증명과는 다른 기하학적인 증명을 소개한다.

a와 b가 길이로 주어졌을 때 a+b를 지름으로 하는 반원을 그리고, 분기점에서 수선을 긋는다.

 직각삼각형의 닮음을 이용하면 수선이 기하평균이 됨을 알 수 있다. 이제 반지름은 지름의 반, 즉 산술평균이므로 그림과 같이 그리면, 산술평균이 기하평균보다 더 길게 된다.

 
참고
로저 넬슨(Roger B. Nelson), 말이 필요없는 증명 I(원제 : Proofs without words I), p.57