메네라우스의 정리와 체바의 정리

 중학교 때 배우는 기하에는 나오지않는 두가지 정리가 있다. 첫 번째 정리는 메네라우스의 정리이고 두 번째는 체바의 정리이다. 두 정리 모두 증명 과정이 다른 중등기하의 내용보다 길기는 하지만, 한 번 익히면 삼각형 문제에서 큰 힘이 될 수 있다는 장점이 있다. 다음이 그 두 정리들이다.

1. 메네라우스의 정리

 △ABC의 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선이 한 직선과 각각 P, Q, R에서 만날 때,

이 성립한다.

 역으로 △ABC의 변 AB, BC, CA의 연장선 또는 두 변과 나머지 한 변의 연장선 위에 가각 점 P, Q, R이 있어

이면, 세 점 P, Q, R은 일직선 위에 있다.

<증명>

 △ABC의 각 꼭짓점 A, B, C에서 직선 PR에 이르는 거리를 각각 h_1, h_2, h_3이라 하면 닮음의 성질에 의해,

 따라서, 가 된다.

2. 체바의 정리

 △ABC의 꼭짓점 A, B, C에서 한 점 O를 연결하는 직선이 대변 또는 대변의 연장선과 만나는 점을 각각 P, Q, R이라 하면,

이 성립한다.

 역으로, △ABC의 변 BC, CA, AB 또는 한 변과 나머지 두 변의 연장선 위에 각각 점 P, Q, R이 있고, 

이면 세 직선 AP, BQ, CR은 한 점에서 만난다.

<증명>

 △ABC의 꼭짓점 A와 B에서 직선 RC에 이르는 거리를 각각 h_1과 h_2라 하면 닮음의 성질에 의해 이다. 

이 때, S(△AOC)와 S(△BOC)를 각 삼각형의 넓이라 하면 가 된다.

같은 원리로 역시 성립한다.

따라서, 가 된다.

역을 증명하는 것은 본래 명제가 성립한다는 사실과 내분점의 유일성을 사용하면 증명할 수 있다.

(2019.4.6. 마지막에서 두번째 줄 △AOB -> △BOC로 수정)