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기하-도형 퍼즐/기하 퍼즐14

삼각형 안에 삼각형 삼각형의 각 꼭짓점과 그 점을 마주보는 변을 1:2로 내분하는 점을 이어서 그림과 같이 삼각형 내부에 작은 삼각형을 만들자. 저 작은 삼각형의 넓이와 전체 큰 삼각형의 넓이의 비는 얼마일까? 풀이 그림과 같이 삼각형을 잘라 붙여보자. 그러면 내부의 작은 삼각형(주황색) 7개가 모인 형상이 만들어진다. 즉, 전체 삼각형 넓이는 작은 삼각형의 7배라는 뜻이다. 따라서 큰 삼각형 대 작은 삼각형의 넓이 비는 7 : 1이다. (2013 12/27 추가) 그림과 같은 분할이 가능한 이유는 다음과 같다. 삼각형 ABC에서 각 변을 1:2로 내분하도록 세 선분을 긋고, 합동인 삼각형 셋을 그림처럼 오른쪽에 붙이자. BF:AC=12:6=2:1=BR:CR이므로 선분 AR의 연장선은 점 F를 지난다. 점 B에서 QC에 평.. 2013. 12. 15.
정오각형의 넓이 중학교 수학시간, 다들 2학기 즈음에 기하를 배우는 것으로 기억한다. 초등학교 때보다 조금 더 심화되어 기하의 기초적 성질, 이를테면 삼각형, 사각형의 넓이, 합동과 닯음, 원의 성질, 피타고라스의 정리등을 배웠지싶다. 고등학교로 넘어오면 좌표평면과 삼각비라는 무시무시한 도구를 이용하여 거의 대부분의 평면도형을 다룰 수 있게 되지만, 그렇게되면 매우 전문적인 곳까지 파고들기 때문에 개인적으로는 중등기하까지가 어떤 퍼즐적인 마지노선이라는 생각이 든다. 이번에 보여줄 문제는 보통은 고등학교 수학으로도 풀지만, 중학교 때 배운 지식으로도 충분이 답을 찾을 수 있음을 보여주고싶어 소개한다. 중학교 때 처음으로 피타고라스의 정리에 대해 배우면서 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 넓이가 √3/4임을 알게된다. 한 변.. 2013. 11. 24.
잔디밭의 널이는? 그림과 같이 원 모양의 호수와 그 주위를 동그랗게 둘러싼 잔디밭이 있다. 호수와 잔디밭 모두 정(正) 원이지만, 애석하게도 두 원의 반지름의 길이를 모른다. 대신 그림에 그려진 것 처럼 호수에 접하는 접선의 길이가 30m인 것을 알고있다고 하자. 그렇다면 잔디밭의 넓이는 얼마일까? 해설 두 반지름을 모르므로 미지수를 두자. 즉, 큰 반지름을 R, 작은 반지름을 r이라 하자. 피타고라스의 정리에 의해 R^2-r^2=15^2=225임을 알 수 있다 이 때 잔디밭의 넓이는 두 원의 넒이의 차이므로 그대로 225를 대입하여 225πm²이 된다. 주목할 것은 두 반지름의 길이 없이도 답을 얻어낼 수 있었으며, 거꾸로 말하면 두 반지름의 길이와 상관없이 넓이를 구할 수 있다는 것이다. 반지름이 아무 길이가 되어도 .. 2013. 3. 19.
2, 3, 5 다음의 넓이를 구하여라. 직각표시는 모두 90도이다. 풀이1 위 그림과 같이 점의 이름을 붙이고, 선분 AC를 보조선으로 긋자. 삼각형 ADF와 CEF는 AA닮음이므로, AD ; DF = EC : EF 이다. 문제에서 AD = 2, EC = 3, DE = 2라 하였으므로, DF = 2 * 2/(2+3) = 4/5이고 EF = 2 * 3/(2+3) = 6/5이다. 그러면, 따라서 답은 6 풀이2 풀이 1과 달리 풀이 2에서는 좀 더 위트있게 생각하고자 한다. 먼저 움푹 들어간 부분을 2 * 2 짜리 정사각형으로 메꾼다. 각 DEC가 직각이므로, 메꿔진 도형은 4각형이 된다. 그러면, 따라서 6이라는 같은 결과를 얻는다. 이 문제는 '수학 퍼즐 랜드' (다무라 사부로 지음, 한명수 옮김, 電波科學社)의 제 .. 2012. 9. 15.
상자속에 숨겨진 각도 정육면체 나무상자가 있다. 노란 선으로 칠해진 각도는 각각 얼마일까? 좌측의 그림은 정육면체의 꼭지점을 이은 것이고, 우측의 그림은 정육면체의 모서리의 중점을 이은 것이다. 참고한 도서 : 이야기 수학퍼즐 아하(원제 : Aha Insight, 마틴 가드너 작) 중 -미스 유클리드의 정육면체(p204-207) 편 물론 다른 퍼즐 책에도 종종 나온다. 해답 및 해설 머리속에서 답이 곧장 나오지 않는 이유는 위 그림이 사투상법으로 그려져 있기 때문이다. 사투상법이란 물체의 정면을 그리고 , 일정 각도만큼 위로 올려 (혹은 아래로 내려) 안쪽 길이를 표현하는 투상법이다. 주로 45도 각도로 깊이감을 표현한다. 사투상법은 물체의 정면을 정확히 알 수 있어서 좋지만, 그 대신 깊이 부분에서 각이 나오지 않게 된다... 2012. 8. 14.
5, 7, 8 문제는 보는 그대로이다. 직사각형 몇 개를 붙여놓은 기괴한 도형의 둘레를 구해야 하는데, 주어진 정보가 부족한 것 같다. 하지만, 저 3개의 숫자 정보만으로 충분히 둘레를 구할 수 있다. 과연 답은? 위 문제는 예전에 인터넷 상에 잠시 유행했다가, 어떻게 자료가 돌고 돌아 최근 다시 유행하고 있는 문제이다. 주어진 문제가 너무 간단한데도 막상 답을 말해보려면 한방에 구해지지 않게된다. 출처는 어디일까? 구글 이미지 검색으로는 어디 초등학교 3학년 문제집에서 나왔다고 하고, 또 어디에서는 닌텐도 게임 '레이튼 교수'시리즈 중 하나로 나왔다고 한다. 나는 현 초 3 수학문제집도, 닌텐도도 없으므로 그 진위를 확인할 수 없지만, 우연히 퍼즐 책 중 하나에서 이와 상당이 유사한 문제를 찾을 수 있었다. 다코 아.. 2012. 5. 28.

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