철수, 영수, 그리고 민수가 퀴즈쇼 결승에 올랐다. 퀴즈쇼 결승은 여러 문제영역으로 구성되며, 각 문제영역마다 1등은 x, 2등은 y, 3등은 z라는 점수를 얻는다. 이때, x, y, z는 서로 다른 양의 정수이다. 철수는 총 20점을 받았고, 영수는 총 10점, 민수는 총 9점을 받았다. 영수가 상식영역에서 1등을 했다면 인물영역에서는 누가 2등을 했을까?
Solving Mathematical Problems(by Terence Tao)에서 나온 문제를 약간 수정.
기묘한 문제이다. 주어진 정보가 너무나 부족한 상황에서 문제를 풀어야한다. x, y, z만 대입해도 수백가지 상황이 가능할 것 같지만 실제로는 오직 한가지 경우만이 가능하다. 주먹구구식으로 대입하여 답을 찾아낼 수도 있겠지만 정수적 특성을 이용하면 문제를 우아하게 풀어낼 수 있다. 교묘하면서도 훌륭하게 짜여진 퍼즐이다. 그렇다면 답은?
풀이
퀴즈쇼가 총 N개의 문제영역이 있다고 하자. 각 영역마다 x+y+z라는 점수가 참가자들에게 분배되므로 퀴즈쇼 결승이 진행되는 동안 총 N(x+y+z)라는 점수가 분배되었다. 이는 참가자들의 총점의 합과 같으므로, N(x+y+z)=20+10+9=39.
그런데 N이나 x+y+z 모두 양의 정수이므로 39의 양의 약수인 1, 3, 13, 39 중에서 결정할 수 있다.
문제영역에는 상식과 인물이 있었으므로 N은 최소 2 이상, x, y, z는 서로 다른 양의 정수이므로 최소 3, 2, 1점이다. 따라서 x+y+z는 최소한 6 이상이다. 이를 약수들이 1, 3, 13, 39라는 사실과 연결시키면 N=3, x+y+z=13이라는 결론을 얻는다. 즉, 퀴즈쇼는 총 3개의 영역을 가지고 있었다.
이제 x+y+z=13라는 사실을 자세히 파고들자.
x>y>z인 상황에서 z는 4 이상이 될 수 없다. z가 4 이상이면 y는 최소 5, x는 최소 6인데 그러면 x+y+z가 최소 4+5+6=15가 되어 모순이다. 따라서 z≤3.
y는 6 이상이 될 수 없다. y가 6 이상이면 x는 최소 7인데 그러면 이미 x+y가 최소 13이고, x+y+z=13을 쓰면 z=0이 되어 양의 정수라는 조건에 모순이다. 따라서 y≤5.
x는 9 이상이 될 수 없다. 영수는 상식영역에서 1등을 했으므로 x점을 얻었다. 그런데 영수의 총점은 10점이고, 다른 두 영역(퀴즈 총 영역 수=N=3을 유념)에서 최소한 1점, 1점은 얻었을 것이므로 x가 9 이상이면 영수의 총점은 9+1+1=11이상이 되어 모순이다. 따라서 x≤8.
이상을 종합하면, z≤3, y≤5, x≤8을 얻을 수 있다.
이제 철수의 총점이 20점이라는 점을 살펴보자.
철수의 총점이 압도적이므로 철수는 많은 영역에서 1등을 했을 것으로 추측된다. 영수가 이미 상식영역에서 1등을 했으므로 전 영역 1등은 불가능하다. 하지만 상식 외의 두 영역에서는 1등을 한 게 분명하다. 그렇지 않으면 최대 (1등, 2등, 2등)을 해도 총점이 x+y+y≤8+5+5=18이 되어 20점이 안 되기 때문이다. 고로 철수는 (1등, 1등, 2등) 또는 (1등, 1등, 3등)을 하였을 텐데, (1등, 1등, 3등)의 경우 총점이 x+x+z≤8+8+3=19가 되어 역시 20점이 안 된다. 이로써 철수가 (1등, 1등, 2등)을 했음을 알 수 있다. 즉 x+x+y=20. ( y=20-2x )
x가 6 이하면 y는 20-2x=8 이상이어야 하므로 x＞y에 모순이다. 따라서 x는 7 또는 8이다.
x가 7인 경우 y는 6이 되는데, 그러면 x+y+z=13에서 z=0이 되어 양의 정수라는 조건에 모순이다. 따라서 x=8이고, 이에 따라 y=4, z=1이다. ( y=20-2x=4, z=13-x-y=1 )
이제 종합해보자.
영수는 총점 10점을 얻었고, 상식영역에서 한 번 1등을 했으므로 상식에서 이미 8점을 얻고, 나머지 두 영역에서 1점, 1점을 얻은 것이 분명하다. 즉, 영수는 상식 이외의 영역에서 모두 3등을 하였다. 한편, 철수는 영수가 1등을 한 상식영역 이외의 모든 영역에서 1등을 하였다. 따라서 민수는 상식을 제외한 모든 영역에서 그 중간, 2등을 하였다는 것을 알 수 있다. 그러므로 문제에 요구한 인물영역의 2등은 누구인가의 답은 민수이다.
