합과 곱이 같을 때

어떤 두 양의 정수의 합과 곱이 같았다고 한다. 이때 두 정수는 무엇무엇일까? 간단한 이 문제의 답은 모두 2라는 것이다.(2+2=4=2×2)

여기에서 문제.

1)

다음 방정식의 해를 구하라. 단 모두 양의 정수여야 한다.

(a)

(b)

2) 일반적으로 이런 일이 항상 일어날까? 즉, 합과 곱이 같은 어떤 k개의 양의 정수들이 항상 존재할까?

모든 k에 대하여 항상 양의 정수 해가 존재하는가?

풀이

1)

3+2+1=3×2×1

4+2+1+1=4×2×1×1

2)

그렇다. 항상 존재한다.

우선 미지수가 많은 것은 별로 좋지 않으니 앞의 두 미지수를 제외하고 모두 1이라고 생각하자. 그리고 편하게 x_1과 x_2를 각각 x와 y라고 하자. 그러면,

-> 

-> 

고로 엄청 간단히 x-1=k-1, y-1=1로 두면 x=k, y=2라는 간단한 정수해를 얻을 수 있다.

즉, k+2+1+...+1=k×2×1×...×1=2k

예를 들어,

5+2+1+1+1=10=5×2×1×1×1

6+2+1+1+1+1=12=6×2×1×1×1×1

7+2+1+1+1+1+1=14=7×2×1×1×1×1×1

8+2+1+1+1+1+1+1=16=8×2×1×1×1×1×1×1

...

물론 이것이 유일한 해가 아닐 수 있다. 가령 5개의 경우,

5+2+1+1+1=5×2×1×1×1 이외에

3+3+1+1+1=3×3×1×1×1 도 가능하다.

마틴 가드너의 The Colossal Book of Short Puzzles and Problems' 문제 4.6에서 가져왔습니다. 책에 언급되있듯, American Mathematical Monthly Nov 1971의 문제 E 2262(G.J.Simmons and D.E.Rawlinson)을 보아도 좋습니다.