직소 퍼즐, 테두리 vs 내부

 일반적인 직사각형 모양의 직소퍼즐 판을 생각해보자. 이 때 각 직소퍼즐 조각의 모양을 보아 테두리조각과 내부조각, 이렇게 두 부류로 쉽게 나눌 수 있다. 왜냐하면 내부조각은 모든 변이 올록볼록한 반면 테두리조각은 반드시 평평한 변이 최소 하나 있어야하기 때문이다. 직소퍼즐을 맞출 때 가장 많이 쓰는 전략으로 바로 이렇게 두 부류의 조각으로 나눈 뒤 퍼즐을 맞추는 경우가 많을 것이다.

 그림과 같이 12조각짜리 직소퍼즐(4x3)과 120조각짜리 직소퍼즐(12x10)을 살펴보자. 12조각짜리의 경우 내부가 테두리보다 개수가 적다. 한편 120조각짜리의 경우 테두리가 내부보다 개수가 적다. 

 직소퍼즐의 크기가 점점 커지면서 이 두 부류의 조각들의 개수 차가 뒤바뀔 것이다. 그렇다면 문제.

 테두리와 내부 조각의 수가 같은 직사각형 직소퍼즐을 모두 찾아라.

정답 및 풀이

가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라고 하자. 전체 조각 수는 xy이고, 내부 조각 수는 (x-2)(y-2)이다. 내부와 테두리가 같으러면 내부의 두 배가 전체 조각 수가 되면 되므로 간단하게 xy=2(x-2)(y-2)라는 식을 얻을 수 있다. 식을 정리하면 아래와 같은 결과를 얻는다.

xy-4x-4y+8=0

식을 적절히 인수분해하기 위해 양 변에 8을 더한다.

xy-4x-4y+16=8

(x-4)(y-4)=8

x,y는 양의 정수여야하므로 (가로가 길다는 가정하에) 아래 두 답을 얻는다.

x-4=8, y-4=1  -> x=12, y=5

x-4=4, y-4=2  -> x=8, y=6

식을 만족시키는 것은 이것들이 유일하다.

수학 악마(하인리히 헴메 지음)에서 가지고 왔습니다.