오일러 직선

이전 실베스터 삼각형 문제에 이어 삼각형의 오심과 관련된 흥미로운 정리인 오일러 직선에 대해 살펴보자.

 

삼각형의 외심, 무게중심, 그리고 수심은 한 직선 위에 놓여있다. 

 

이 세 점을 지나는 직선을 오일러 직선(Euler line)이라 부른다. 물론 정삼각형같이 세 중심이 일치하는 특이케이스는 제외한다. 

세 점의 위치관계역시 깔끔한데, 외심과 수심 사이에 무게중심이 위치하며, 그 내분 비율은

OG : GH = 1 : 2

이다.

 

증명은 두 가지를 소개한다. 첫째로 벡터를 이용한 증명, 둘째로 기초적인 기하학을 이용한 증명이다.

벡터를 이용한 증명은 실베스터 삼각형 문제를 쓰면 간단히 보일 수 있다. 재미있는 건 두 번째 증명인데, 원 삼각형과 중점삼각형(원 삼각형의 세 변의 중점을 이어 만든 삼각형)의 세 중심들이 가지는 놀라운 관계를 통해 정리를 설명한다.

 

 

삼각형 ABC의 외심을 O, 무게중심을 G, 수심을 H라 하자.

 

증명1.

실베스터에 의해 외심과 수심의 다음 관계를 알고 있다.

OA+OB+OC=OH

한편 무게중심 G는 다음과 벡터합이 0이 되는 다음과 같은 식을 만족한다.

GA+GB+GC=0

이는 방향을 바꿔도 무방하다. 즉 AG+BG+CG=0

두 식을 더하면 우변은 OH이고 좌변은

(OA+OB+OC)+(AG+BG+CG)

=(OA+AG)+(OB+BG)+(OC+CG)

=OG+OG+OG = 3OG

따라서 OH=3OG 라는 결론을 얻는다.

이는 곧 외심 O에서 시작해서 무게중심 G, 수심 H를 차례로 지나는 직선이 있으며 G가 OH를 1:2로 내분한다는 것을 알 수 있다.

 

 

증명2.

삼각형 ABC에서 변 BC, CA, AB의 중점을 각각 D, E, F라 하자. 이 때 원 삼각형 ABC와 중점 삼각형 DEF사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

(1) ABC의 무게중심과 DEF의 무게중심은 같다.

(2) ABC의 외심과 DEF의 수심은 같다.

 

위 두 보조정리의 매우 놀라운 중심들의 일치를 보여주는데(특히 2번은 아름답지 않은가?), 의외로 증명은 쉬우므로 설명을 생략하고 바로 본론으로 들어가자.

 

삼각형 ABC를 무게중심 G를 중심으로 180도 회전시킨 뒤 절반으로 축소시킨 것을 A'B'C'이라 하자. (중점연결정리에 의해) 중점삼각형 DEF는 그 길이가 ABC의 절반이고 변들이 ABC의 세변과 각각 평행하면서 마침 무게중심이 동일하므로 A'B'C'는 정확히 DEF가 된다. 

한편, ABC의 수심 H는 변환 과정에서 어떤 점 H'으로 이동할 텐데, 180도 회전 뒤 절반으로 축소되므로 GH와 GH'은 같은 직선 위에 있고, 그 길이비는 2:1이다. 그런데 H'은 A'B'C'=DEF의 수심이므로 (2)에 의해 ABC의 외심이다.

따라서 H'을 O로 바꾸어 읽으면 H, G, O 는 동일한 직선 위에 있고 HG : GO = 2 : 1이다.

 

 

방금의 증명은 ABC와 DEF가 G를 중심으로 회전닮음에 있음에 기초하였다. 이 과정에서 A'B'C'와 DEF가 자연히 일치하리라 가정하였는데, 이는 직관적이긴 하나 일부에게는 엄밀하지 못하다고 보일 수도 있을 것이다. 하여 삼각형의 닮음을 이용한 좀 더 상세한 증명을 보이겠다.

 

증명2-x.

삼각형 ABH와 DEO는 닮음이다. 왜냐하면 AB//DE이고(∵중점연결정리), AH와 OD는 BC(또는 EF)에 수직이므로 역시 서로 평행하고, 마찬가지로 BH와 EO도 AC(또는 DF)에 수직이므로 서로 평행하기 때문이다. ABH와 DEO의 닮음비는 AB와 DE의 길이비와 같고 따라서 2:1이다. 고로 AH : DO = 2 : 1.

한편 무게중심 G는 중선 AG를 2 : 1 로 내분한다. AG : GD = 2 : 1.

마지막으로 각 HAG와 각 ODG는 엇각으로 서로 같다. (이미 첫 문단에서 AH//DO임을 설명하였다.)

세 사실을 종합하면 삼각형 HAG와 ODG는 서로 닮아있고 그 비는 2 : 1 이다. (SAS닮음)

그러면 HG : GO 역시 비율이 2 : 1이며, 닮음에 의해 각 AGH와 각 DGO가 같으므로 H, G, O는 동일한 직선 위에 있다. 

 

 

 

 

참조

수학올림피아드 평면기하학 (윤옥경 저)

en.wikipedia.org/wiki/Euler_line