실베스터의 삼각형 문제

실베스터(James Joseph sylvester)의 삼각형 문제는 유클리드 벡터를 이용한 간단한 정리이다. 바로 살펴보자.

 

 

삼각형 ABC의 회심을 O, 수심을 H라 할 때, 세 벡터 OA, OB, OC의 합은 벡터 OH와 같다.

 

외심과 수심의 관계를 보여주는 이 재미난 정리를 증명해보자.

증명)

 

 B에서 AC에 내린 수선의 발을 D라 하고, 벡터 OC와 크기 방향이 같고 점 A에서 출발하는 벡터를 찾아 그 끝을 E라고 하자. 사각형 AOCE는 벡터의 성질에 의해 평행사변형인데, OA와 OC의 길이가 같으므로(O가 외심) 사각형 AOCE는 마름모이다. 마름모의 성질에 따르면 두 대각선은 서로 직교하게 되며, 이에 따라 BD와 OE는 서로 평행하다.

 벡터 OB와 크기 방향이 같고 점 E에서 출발하는 벡터를 찾아 그 끝을 H'이라 하자. 사각형 BOEH'역시 평행사변형인데, BD와 OE가 평행하므로, H'이 수선 BD위에 있음을 알 수 있다.

 정리하면, 벡터 OA, OB, OC를 더하는 것은 벡터 OA, AE, EH'를 순서대로 따라가 그 끝을 찾는 것과 같고, 이 끝 점은 수선 BD위에 있다고 이야기할 수 있다. 그런데 동일한 방법을 C에서 AB로 내린 수선과 A에서 BC에 내린 수선에 모두 적용시킬 수 있으므로 끝 점은 삼각형 ABC의 세 수선에 동시에 존재해야한다. 이는 곧 이 점이 수심 H임을 이야기한다.

 

 

 

참조 : en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_triangle_problem