격자 숲의 다섯 감시카메라

거대한 평야 위에 정사각형 격자 숲이 있다. 이 숲에 심어진 나무들은 모두 가로세로 1m간격으로 심어져있고, 전 방향으로 무한히 펼쳐져있다.

이 숲의 안전을 위해 감시카메라 다섯 대를 아래와 같은 조건을 만족하게끔 지면에 설치하고자한다.

1) 감시카메라는 나무가 서있는 격자점에 위치해야한다. 카메라가 있을 격자점 이외의 나무들은 손대지 않는다.

2) 어떤 두 감시카메라도 서로를 온전히 볼 수 있어야한다. 시선 사이에 나무나 다른 감시카메라가 있을 수 없다.

숲 관리국은 수십가지 안을 내놓았으나 어떻게해도 조건을 만족시키지 못하였다. 어째서인가?

설명

 숲이 아무리 무한하다 할지라도 이 프로젝트는 완성될 수 없다.

{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}을 짝수, {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}을 홀수로 간주하자.

숲에 적당히 좌표를 잡고 각 감시카메라의 좌표를 조사하자.

좌표는 다음과 같은 네 종류 중 하나여야한다.

(짝수, 짝수), (짝수, 홀수), (홀수, 짝수), (홀수, 홀수)

감시카메라가 총 5대이므로 비둘기집의 원리(!)에 의해 같은 종류의 좌표를 갖는 두 카메라가 반드시 존재한다. 

문제는, 임의의 두 짝수의 평균, 또 임의의 두 홀수의 평균은 항상 정수값이라는 것이다. 겹치는 종류의 좌표를 가진 두 카메라의 중점은 반드시 (정수,정수)좌표가 되고. 여기엔 나무나 다른 감시카메라등 방해물이 반드시 있을 것이므로 조건을 만족시킬 수 없다.

홀짝성(parity)과 비둘기집의 원리를 이용한 아름다운 문제이다.

재미있는 영재들의 수학퍼즐2(박부성著)에서 발췌했습니다.