수학 정리들11 비둘기집 원리(Pigeonhole Principle) 비둘기집 원리는 다음과 같다. 비둘기집 원리. n 개의 물건을 r개의 상자에 넣을 때, r 2013. 11. 10. 산술평균과 기하평균 평균의 사전적 정의를 보면 '여러 사물의 각각 다른 질이나 양을 고르게 한 것'이라고 나와있다. 예로 각 반 학생들의 키 평균이라든지, 어떤 강의 수심의 평균을 들 수 있다. 평균에는 여러가지 종류가 있지만, 여기서는 수학에서 자주 언급되는 산술평균(Arithmatic Mean)과 기하평균(Geometric Mean)을 보자. 산술 평균 각 양수들을 다 더하여 그 개수로 나눈 값이다. 일상에서 평균이라 말할 때 쓰는 것이 바로 이 산술평균이다. 따라서 더 이상 언급하지 않아도 될 것이다. 기하 평균 각 양수들을 다 곱하여 그 개수로 제곱근을 씌운 값이다. 기하평균은 간단히 산술평균에서 합이 곱으로, 나눗셈이 근호로 바뀐 것이다. 기하학적인 측면에서 볼 때, 각 변이 a, b, c인 직육면체와 체적이 같은.. 2012. 1. 31. 명제논리(Propositional Logic) 몇몇 논리퍼즐들을 풀기 위해서는 논리 법칙들을 잘 알고 있어야 한다. 주어진 명제가 참인지 거짓인지 밝혀내는 과정에서 일련의 법칙을 모른다면 복잡하게 구성된 명제들의 참과 거짓을 이상하게 해석할 수 있기 때문이다. 이 글에서는 주로 쓰이는 부정(negation)과 여러 연결사(connectives)들을 볼 것이다. 이를 위해 [1]를 참고했다. 1.부정(Negation) 어떤 명제 p가 있을 때, 'p가 아니다 (not p)'를 p의 부정이라하고 기호로는 ~p혹은 ¬p로 나타낸다. ~p의 진리치는 p와 반대이다. 즉, p가 참일때 ~p는 거짓이고, p가 거짓일때 ~p는 참이다. 이를 진리표로 나타내면, 2. 연언문(Conjunction) 어떤 명제 p와 q가 있을 때, 'p 그리고 q (p and q)'.. 2011. 12. 10. Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem 분할 퍼즐(Dissection puzzle)들을 보면 매우 다양한 과제를 볼 수 있다. 삼각형, 사각형, 육각형, 십자가 등등 친숙한 모양을 이리저리 쪼개 다른 모양으로 만드는 것을 보면 그저 신기하기만 하다. 그러나 간혹 어떤 모양들은 다르게 쪼개는 것이 불가능에 가까워 보인다. 과연 분할 퍼즐 중에서 불가능 한 것이 있을까? 답은 아니다. 모든 다각형은 반드시 잘 자르고 다시 붙여서 다른 모양으로 만들 수 있다. 이것이 바로 Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem이다. 수학자들이 이 정리를 증명해주었기때문에 모든 분할 퍼즐들은 제아무리 괴상망측한 모양을 하고 있다 하더라도 반드시 해답이 있다는 걸 보장받을 수 있다. Wallace-Bolyai-Gerwein Theorem의 증명은 각기.. 2011. 11. 13. Theorems 수학은 잘 닦아놓은 기초 위에 굵직굵직한 기둥들을 박아 올라가는 거대한 초고층빌딩처럼 생각 할 수도 있다. 허나 기하학, 해석학, 대수론, 조합론등으로 갈래갈래 퍼져나가는 모습은 빌딩보다는 나무에 더 잘 비견될 수 있을 겄이다. 수학이라는 나무에서는 뿌리가 공리계를 뜻하고, 가지들은 정리를 말한다. 여기에선 수학이라는 나무에서 퍼즐이라는 놀이터에 놀기 위해 필요한 몇몇 가지들을 모아 놓을 것이다. 몇몇은 정말 중요한 가지들이고 또 몇몇은 약간은 곁가지일 수 도 있다. 허나, 퍼즐 세계에서 많큼은 다들 유용하게 쓰일 것이다. 우선 정리를 보여주고, 다음 증명을 써내려 갈 것이다. 증명은 세세하게 증명하지는 않고, 대략적인 흐름은 파악하려 할 것이다. 다만, 정리 그 자체는 퍼즐을 푸는 도구(tool)로서 .. 2011. 11. 12. 이전 1 2 다음
