페리갈의 증명(Perigal's proof)

페리갈의 증명

1. 피타고라스의 정리

 파타고라스의 정리는 직각삼각형의 세 변에 대한 공식이다. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 a와 b라 하고 빗변의 길이를 c라 할 때 a^2+b^2=c^2이 성립한다.

 a^2, b^2, 그리고 c^2을 각각 a, b, c를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이라고 생각하면 직각삼각형을 둘러싼 두 작은 정사각형의 넓이 합이 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 된다고 여길 수 있다. 그래서 피타고라스의 정리를 증명하는 방법 중 가장 직관적인 것이 두 정사각형을 자르고 붙여서 큰 정사각형을 만드는 것이다. 유한번 자르고 붙였을 때 넓이가 보존됨을 이용하는 것이다. 기하학적 증명(Geometric proof, congruency-by-Addition proof라고도 한다)이라고 하는 이러한 증명법으로는 뵈트헤르(J. E. Böttcher)의 증명과 유희(劉徽)의 증명이 있지만, 이 글에서 다룰 기하학적 증명은 바로 페리갈(Henry Perigal)의 증명이다.

2. 페리갈인가, 듀드니인가

 로저 넬슨(Roger B. Nelson)의 책 Proofs Without Words I(국내에선 '말이 필요없는 증명 I'로 출간)을 보면 이 증명을 듀드니(H. Dudeney)의 것으로 소개하고 있다. 과연 누구의 증명일까? 도형 분할로 유명한 그렉 프레데릭슨(Greg Frederickson)의 책 'Dissections: Plane & Fancy'(Cambridge University Press, 1997)의 내용에 따르면 페리갈이 이 증명법을 발표한 것은 1873년, 듀드니의 경우 1917년이라고 한다. 따라서 페리갈의 승리이고, 마땅히 페리갈의 정리라 불러주는 것이 옳을 것이다.

 이러한 오해가 있었던 것은 Howard Eves의 책 Great Moments in Mathematics(MAA, Washington, 1980)에서 이 증명법이 듀드니의 것이라고 소개하서가 아닐까싶다. 원문을 보면 페리갈은 1783년에 Thabit ibn Kurrah의 증명을 재발견했다고 쓰여있는데, 무언가 착오가 있었던 듯 하다.

 이름도 Henry로 같은 두 사람이 같은 증명을 생각해내었다는 점은 조금은 묘한 일이다.

 

3. 작도

 페리갈의 증명만큼 작도하기 쉬운 것도 없을 것이다. 우선 두번째로 큰 정사각형의 무게중심을 찾은 뒤, 빗변에 평행하고 무게중심을 지나늣 선을 하나, 빗변에 수직이고 무게중심을 지나는 선을 또 하나 그어 이 정사각형을 정확이 4등분하면 된다.

선분이 평행하므로 그림에서 직각삼각형이 닮음을 알 수 있고, 이에 따라 길이를 계산해보면 b/2-a, c/2라는 길이가 나온다.

그러면 네 조각을 평행이동시켜 더 큰 정사각형을 만들 때, 안쪽 정사각형의 길이는 (b/2-(b/2-a))=a가 되고, 바깥쪽 정사각형의 길이는 c/2+c/2=c가 된다. 따라서 분할이 잘 이루어졌음을 알 수 있다.

4. 기하학적 모순

 직각삼각형의 한 변의 길이를 극단적으로 줄이면 남은 두 정사각형의 크기가 엇비슷해진다. 이 점을 이용하여 다음과 같이 기하학적 모순을 일으키는 퍼즐을 만들 수 있다.

 물론 기하학적 증명을 이용하는 모든 피타고라스의 정리 증명법에 다 해당되는 이야기이지만, 페리갈의 증명은 우선 네 조각이 모두 합동이여서 사각형의 매우 단순한 분할을 만들어내고, 작은 사각형을 분할시키지 않고 증명하기때문에 조금 더 쉽고 재미있게 만들 수 있지 않을까 한다.

(위키사이트에서 찾은 더 좋은 예시. gif파일이라 더 잘 설명하고있다.)

참조

Nelson, Proofs Without Words I

Fredericson, Dissections: Plane & Fancy

http://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html