이번 글에서는 고전중의 고전으로 꼽히는 듀드니의 복면산 문제를 소개할 것이다.
다음 복면산을 풀어라.
돈을 더 달라는 그 패기가 놀랍다.
우선, SEND + MORE < 20000 에서 그 합이 1????, 즉 M=1 임을 알 수 있다.
S E N D
+ 1 O R E
1 O N E Y
1ORE 는 2000보다 작으므로 SEND를 더해도 12000을 넘을 수 없다. 고로 MONEY는 11??? 또는 10???인데, 복면산의 일단어일숫자 원칙에 의해 11???는 기각되고 O는 0이어야 한다.
S E N D
+ 1 0 R E
1 0 N E Y
10RE에 SEND를 더해 일만을 넘기려면 SEND는 최소한 8901이상이어야 한다. 고로 SEND 는 89?? 또는 9???인데, 89??일 경우 N은 0이 된다. O가 이미 0이므로 이는 불가능하다. 따라서 S는 9여야 한다.
9 E N D
+ 1 0 R E
1 0 N E Y
천단위 이상만 따로 빼내면 식은 다음과 같이 간소해진다.
E N D
+ R E
N E Y
여기서 숫자 0, 1, 9는 제외하고 풀어야한다.
백단위 숫자가 E에서 N으로 변했으므로 ND + RE 가 1??이어야하고(200이상은 될 수 없다), 자연스럽가 N= E+1이 된다.
그런데, 십의 자리를 살펴보면 N과 E가 백단위와 달리 거꾸로 되어있다. N=E+1에서 R은 9, 또는 최소한 8은 되어야함을 알 수 있다. 9는 제외했으므로 R은 8이 되고, D+E가 1?가 되어야한다. 정확히는 D+E=1Y가 된다.
E N D
+ 8 E
N E Y
이제 D+E=1Y를 살펴보자.
0, 1이 모두 제외됐으므로 D+E는 12이상이다. 그런데 큰 수인 9와 8 역시 제외돼야하므로 경우의 수가 얼마 없을 것이라 예상할 수 있다. 실제로 계산하면 5+7, 6+7 두가지 경우밖에 없다.
D와 E 중 하나는 7이 되는데 E가 7이면 N이 8이되어 안 된다. 고로 D가 7이되고, E는 5또는 6이다.
그런데 E가 6이 되면 N이 7이 되므로 동일 원리에 의해 E는 5여야 한다. N=E+1=6이되어야 함은 물론이다.
5 6 7
+ 8 5
6 5 Y
최종적으로 Y는 2임을 얻는다.
결론
9 5 6 7
+ 1 0 8 5
1 0 6 5 2
이상의 논의는 SEND MORE MONEY 복면산이 유일해를 가진다는 것을 보여주기도 한다.
c.f. 만약 첫머리 문자가 1이상이라는 조건이 없어지만 이 문제는 또 다른 해를 가지게 된다.
그러니 반드시 첫머리 문자가 0이면 안된다는 조건을 지켜주기를 바란다.
