양팔저울과 무게추

 이번 퍼즐은 양팔저울의 원리에 대해 다룬다. 이는 토크(torque)와 연관이 깊지만 어려운 얘기는 잠시 접고 양팔저울만 이야기하자.

  어떤 양팔저울에 추가 걸려있을 때 그 추가 받침점에 주는 힘은 '무게 × 거리'이다. 여기서 거리란 받침점부터 추까지의 거리이다. 추가 여러개일 경우 이 힘들을 모두 더하면 된다. 저울이 균형을 이루었다면 이 힘들의 합이 왼쪽이나 오른쪽이나 똑같다는 것을 의미한다. 

 위 사진의 경우,

왼쪽 : 2×3 + 3×1 = 9

오른족 : 1×1 + 4×2 = 9

이므로 평형을 이룬다.

(참고 : 앞서 '힘'이라고 표현하긴 하였으나 실제 물리학에서 쓰는 '힘(Force)'과는 다른 개념이다.)

 이제 문제를 소개한다.

 1부터 5까지의 무게추를 양팔저울의 주어진 자리에 매달아 평형상태를 만들어라. 줄과 막대의 무게는 무시할 만큼 가볍다고 가정한다.

1.

2.

 모두 Erich Friedman의 작품입니다. 같은 출처로 '재미있는 영재들의 수학퍼즐2'에서도 볼 수 있습니다.

정답 및 풀이

 사실 무게추가 5개밖에 없기 때문에 주먹구구식으로 대입해도 답이 곧 잘 나온다.

1.

왼쪽부터 abcde라고 붙이자.

e가 다른 두 추를 버텨야 하므로 매우 무거워야하는데 무게 상한이 5까지이므로 경우의 수가 얼마 나오지 않는다. 실제로,

(c, d, e) = (1, 2, 4), (1, 3, 5), (2, 1, 5)

만이 가능하다.

만약 무게5의 추가 아래층에 걸리면 c,d,e 세 추의 무게는 최소 8이고 이는 이들이 위 받침점에 최소 16의 힘을 주고 있다는 뜻이다. 그러나 남은 추가 4이하이므로 위에 4와 3을 걸어도 4×3+3×1=15로 균형을 맞출 수 없다. 고로 (1,2,4)가 아래층에 걸려야하고, a와 b에는 자연히 3과 5를 걸어 평형을 만들 수 있다.

2.

왼족부터 abcde라고 붙이자.

아래층의 경우의 수는 두가지밖에 없다. (b,c)=(2,1), (4,2)

어느 경우든 두 추의 합은 (3또는 6이므로) 3배수이고, a와 위 받침점사이의 거리도 3이므로 a,b,c가 위 받침점에 주는 힘도 3배수이다. (3a+(b+c)=3a+2c+c=3a+3c=3(a+c))

즉 오른쪽 d,e가 주는 힘 2d+5e도 3배수가 되어야 한다.

먄약 3이 d 또는 e에 위치하면 2d+5e가 3배수가 되지않는다. 3이 유일한 3배수 무게추인데 거리인 2,5가 모두 3배수가 아니기 때문이다. 고로 a=3이다.

남은 가능성은 (b,c,d,e)=(2,1,4,5),(2,1,5,4),(4,2,1,5),(4,2,5,1)인데 4가지 밖에 없으므로 금방 계산이보면 (3,4,2,5,1)이 유일함을 알 수 있다.