모래시계를 이용하는 간단한 퍼즐

 모래시계는 매우 오래전부터 퍼즐에 이용되었다. 이는 모래시계의 독특한 특성에 기인한다. 초단위로 시간을 알 수 있는 일반적인 시계와 달리 모래시계에는 모래밖에 없기 때문에 시계에 정해진 고유의 시간밖에 잴 수 없다. 예를 들어 3분용 모래시계는 3분밖에 잴 수 없으며 눈대중으로 1분이나 1분30초를 정확히 재는 것은 무척 어렵다.

 하지만 여러 단위의 모래시계를 가지고 있으면 시간의 합과 차를 이용해 의외로 다양한 크기의 시간을 잴 수 있다. 지금부터 2개의 서로 다른 모래시계를 이용하여 주어진 시간을 재는 퍼즐을 풀어보자. 모래시계를 뒤집는 데 걸리는 시간은 무시한다.

1)

7분짜리와 11분짜리 모래시계가 있다. 뒤집는 횟수를 최소화하여 15분을 측정하라.

2)

이번에도 7분짜리와 11분짜리 모래시계가 준비되어있다. 목표도 15분으로 동일하지만 이번에는 (1번 답과 다르게) 시간의 낭비 없이 당장 15분을 재야한다. 어떻게 해야할까?

3)

마지막 문제에는 4분짜리와 7분짜리 모래시계가 준비되어있다. 목표는 9분, 앞문제와 동일하게 바로 모래시계를 뒤집고 9분을 재야한다. 이번에는 어떻게 해야할까?

출처 : The Colossal Book of Short Puzzles and Problems, by Martin Gardner

풀이

1)

- 두 모래시계를 동시에 뒤집는다.

- 7분 모래시계가 끝나면 시간을 재기 시작한다.

- 11분 모래시계가 끝나면 총 4분이 지난 상황이 된다.(11-7=4) 다시 11분 모래시계를 뒤집어 시간을 잰다.

- 11분 모래시계가 끝나면 총 15분이 지나게 된다.(4+11=15)

총 3번만 뒤집으면 되지만 앞서 7분을 허비해야한다는 단점이 있다.

2)

- 두 모래시계를 동시에 뒤집는다.

- 7분 모래시계가 끝나면 뒤집어서 시간을 더 잰다.

- 11분 모래시계가 끝나면 7분 모래시계는 3분과 4분용 모래가 나뉘어져있게 된다. 바로 7분 모래시계를 뒤집는다.

- 11분이 지난뒤 4분이 더 지나게 되어 총 15분을 잴 수 있다.

3)

- 두 모래시계를 동시에 뒤집는다.

- 4분 모래시계가 끝나면 뒤집어서 시간을 더 잰다.

- 7분 모래시계가 끝나면 뒤집어서 시간을 더 잰다.

- 4분 모래시계가 한 번 더 끝나면 총 8분이 지난 상황이 된다. 이 때 7분 모래시계는 1분과 6분용 모래가 나뉘어져있게 된다. 바로 7분 모래시계를 뒤집는다.

- 8분이 지난 뒤 1분이 더 지나게 되어 총 9분을 잴 수 있다.