둔각삼각형 쪼개기

 제일 위 그림과 같은 둔각이등변삼각형이 있다. 이 삼각형을 쪼개서 모든 조각이 예각삼각형이 되게 만들 수 있을까?

가능하다면 최소 조각으로 자르고, 불가능하다면 이를 증명하라.

출처

My Best Mathematical and Logic Puzzles, by Martin Gardner

문제 자체는 Mel Stover로부터 제보되었습니다.

풀이

 간단히 설명하겠다.

 주어진 둔각삼격형에서 둔각을 자르는 선이 있을 텐데, 만약 이 선이 쭉 이어져 둔각삼각형의 한 변까지 이르렀다면 어떤 각도로 그 변을 만나든 예각삼각형이 아닌 삼각형을 하나 만들게 된다. 그러면 이 삼각형을 또 쪼개야하므로 최소가 되기 힘들다. 따라서 둔각을 자르는 선은 삼각형 내부의 어떤 지점에서 끊겨야한다.

 이 지점에서 또다른 선분들이 출발해 둔각삼각형을 쪼갤텐데, 아무리 못해도 5개의 선분이 필요하다. 360도를 넷 이하의 선분들이 나누면 최소 한 각은 90도 이상이 되기 때문이다. 이 다섯개의 선분은 자연스럽게 오각형을 만들고, 둔각을 없애기 우해 자연스럽게 두 개의 삼각형이 더해지면서 7개의 예각삼각형으로 나눌 수 있게 된다.

더 엄밀한 증명은 아래 사이트에 담겨져있다.

https://proofwiki.org/wiki/Obtuse_Triangle_Divided_into_Acute_Triangles