열일곱 마리의 낙타

(재미있는 영재들의 수학펴즐 2권에서 발췌하였습니다.)

 아랍의 어느 노인이 세 아들에게 유산으로 17마리의 낙타를 남기면서, 첫째가 전체의 1/2, 둘째가 전체의 1/3, 셋째가 전체의 1/69를 가지도록 유언하였다. 그런데, 17은 2, 3, 9의 어느 수로도 나누어떨어지지 않으므로, 1/2, 1/3, 1/9씩 나누어 가진다는 것은 불가능하다. 과연 세 형제는 어떻게 낙타를 나누어 가져야 할까?

 아랍에서 전해져오는 옛 문제라고 한다. 

 이 문제가 우리를 당황시키는 이유는 낙타의 수를 분수로서 표현할 수 없기 때문이다. 낙타 17/9마리라니, 말도 안되는 이야기다. 차라리 땅을 나누는 문제였으면 좋았으려만...

 아무튼, 이렇게 형제가 고민하고 있는 와중에 한 현자가 낙타를 타고 홀연히 나타나 문제를 해결해준다.

 현자는 자신의 낙타를 자신의 낙타 한 마리를 더하여 낙타를 18마리로 만들고 분배를 시작하였다.

첫째는 18/2=9마리, 둘째는 18/3=6마리, 셋재는 18/9=2마리를 가졌다.

그러자 18-(9+6+2)=18-17=1, 즉 한 마리가 남게되어 현자는 자신의 낙타를 되돌려 받을 수 있엇다.

그리고 현자는 다시 낙타를 타고 길을 떠났다고 한다...

분석

 사실 1/2+1/3+1/9=17/18로, 정확하게 1이 되지 않는다. 정수로 분배할 수 없는 것도 문제지만, 애시당초 낙타를 분배하고도 1/18이 남는 상황인 것이다. 

 그런데 분수 17/18이 어딘가 낯설지 않다. 17은 형제가 유산으로 물려받은 낙타의 총 수가 아니던가! 17/18을 다시 살펴보면,

17/18=9/18+6/18+2/18=1/2+1/3+1/9

 형제가 차례로 받은 낙타 수인 9, 6, 2라는 숫자가 고스란히 식에서 튀어나온다.

예전에 만들어진 문제라고 하지만, 불가능할 것 같던 문제를 멋지게 해결하는 현자의 풀이가 매우 인상적이다.