가장 공정한 게임 (The Squarest Game on the Beach)

 

 

 " (중략) 인형에 붙어 있는 숫자를 모두 더해서 그 합이 더도 덜도 말고 정확히 50이 나오면 황금 띠가 둘러진 25센트짜리 진짜 매기클라인 시가를 드립니다."

 

 샘 로이드(Sam Loyd)의 퍼즐 중 하나이다. 문제는 책 '(마틴가드너가 들려주는) 샘 로이드 수학 퍼즐'에서  53번째(p112)에서 찾을 수 있다. 모티브는 해변의 장사꾼으로, 다른 장사꾼과 마찬가지로 문제 속 사람 역시 경품을 미끼로 손님들을 유혹한다. 전에 해운대에서 이와 비슷하게 다트던져 풍선 터뜨리기를 한 적이 있었는데, 보는 것과 다르게 은근히 조준이 어렵다. 이런 놀이는 경품을 향한 집념보다는 그냥 놀고 간다는 마음으로 참여하는게 최고다.

 

 이야기는 여기까지 하고, 문제에 집중하자. 10개의 숫자들을 잘 조합해서 50이 나오는 경우를 찾아야 한다. 최고급 시가가 걸려있는지라 눈으로 찾기가 어렵다. 답은 무엇인가?

 

풀이

  일반적인 경우에는 컴퓨터를 동원해야하겠지만(없으면 주먹구구식 산수라도 써야 하겠지만), 이 문제의 경우 적절한 아이디어  하나만 있으면 암산으로도 풀 수 있다.

 

 숫자가 어지러져 있으므로 우선 작은 숫자부터 순서대로 써보자.

  3,  6,  9,  12,  15,  19,  21,  25,  27,  30

 

처음부터 369로 시작한다. 그렇다. 3의 배수다. 더 조사해보면 10개 중 19와 25를 제외한 8개의 숫자가 모두 3의 배수임을 알 수 있다.

이것이 바로 키포인트이다. 유난히 많은 3의 배수가  바로 힌트이다.

 

각 숫자들을 3으로 나눈 나머지를 생각하자. (모듈러를 아는 사람은 mod 3을 생각하라.)

19와 25 모두 나머지가 1이고, 나머지는 0이다. 목표숫자인 50은 나머지가 2이다.

인형의 숫자들의 나머지 합과 목표숫자인 50의 나머지합이 같아야 하므로, 19와 25가 반드시 포함되어야 한다.

19 + 25 = 44. 따라서 6을 고르면 충분하다.

6 + 19 + 25 = 50 그리고 이 이외의 조합은 절대 50이 될 수 없다.

 

 즉 한번이라도 실수하면 경품은 물거품이 되는 것이다! (역시 장사는 아무나 하는 게 아니다.)