3×1 조각으로 체스판 채우기(feat.소사이어티게임2 10화)

 소사이어티 게임은 tvn에서 방영중인 서바이버류 프로그램이며, 두 마을이 신체와 두뇌를 이용해 게임에서 격돌하는 것이 주 내용이다.

 여기서 두뇌를 이용한 게임엔 주로 기억력 테스트, 아이큐 테스트나 퍼즐이 쓰이는데 특별히 어제(2017.10.27) 등장한 퍼즐이 마음에 들어 이렇게 글을 쓴다. 문제를 푸는 아이디어는 '수학의 모자이크'(라비 바킬 지음)에서 가지고왔다.

 

주어진 타일들을 이용해 8×8 체스판을 완성하라.

 

언뜻 쉬워보이나 이상하게도 잘 풀리지 않는 듯 하다.

 

바로 이 문제에 대해 설명한다.

이 문제를 주먹구구를 쓰지않고 풀기 위해서는 흑백이 아닌 다른 색구성이 필요하다.

 

다음 그림과 같이 체스판을 새로 칠했다고 가정하자.

3x1 크기의 조각은 가로든 세로든 어떻게 배치해도 정확하게 세 개의 색깔을 차지하게 된다. 즉 조각 하나에 색깔 하나가 덮힌다. 고로 21개의 3x1 조각을 체스판위에 모조리 덮었다면 빨간색, 초록색, 파란색 모두 21개의 칸이 덮이게 된다. 그런데 체스판에 색칠된 빨간색은 21개, 초록색은 22개, 파란색은 21개이다. 따라서 남는 한 칸은 초록색에 들어가야한다.

 

여기서 재밌는것이, 동일한 원리를 이용해 체스판을 거울대칭으로 색칠할 수 있다는 것이다.

 

거울대칭시킨 초록색 영역에도 같은 원리로 남는 한 칸이 들어가야하므로 앞선 채색과 교집합을 하면 오직 4군데만이 한 칸짜리 조각의 후보군위치로 남는다. 흑백을 이제 고려하면 2군데밖에 남지 않는다.

거기다 회전대칭을 생각하면 한 군데밖에 없게 된다. 이 퍼즐이 어려운 이유가 바로 여기에있다.

 

일반성을 잃지 않고 오른쪽 위에 한 칸짜리 조각을 배치하자. 이제부터는 일이 쉽다. 3x1조각 두 개를 붙여 2x3직사각형으로 만들고 이를 채운다고 생각하면 편하다. 해답은 수십개가 나올 것이다.