이 문제는 매우 유명해서 여러 퍼즐 책에 자주 소개가 된다. 퍼즐을 좋아하는 사람이라면 일찍이 들었을 그런 문제이다.
'누워서 읽는 퍼즐북' 감자와 고구마 문제.
'재미있는 영재들의 수학퍼즐' 표지 바뀐 과일상자 문제.
퍼즐 책 뿐만 아니라 영화 '페르마의 밀실'에도 나왔다고 들었다. (단, 문제는 약간 달라져서 최소 횟수를 묻는 문제가 되었다고 한다.)
그럼 문제 대령이오~
3개의 과일상자가 있다. 하나의 상자에는 사과만 있고, 다른 상자에는 바나나만 있고, 또 다른 상자에는 사과와 바나나가 있다. 그런데, 표지를 붙이는 사람이 실수를 했는지, 상자 속 내용물과 표지가 하나도 맞지 않다고 한다.
단 한개의 상자에서 딱 한개 내용물을 꺼내어 다른 모든 상자의 내용물을 알 수 있으려면 어떻게 해야 할까?
해답
'사과와 바나나'라고 적힌 상자를 연다. 표지와 내용물은 다르므로, 상자 속에는 사과만 있거나 바나나만 있을 것이다.
1) 만약 꺼낸 과일이 사과라면 '바나나'라고 적힌 상자는 분명 사과와 바나나가 섞여 들어있어야 한다. 왜냐하면, 그 상자 안에는 바나나가 들어있으면 안되고(표지와 내용물은 다르므로) 또 사과만 들어있지도 않기 때문이다.(사과는 이미 '사과와 바나나'상자에 있으므료) 그러면 '사과'라고 적힌 상자는 결국 바나나만이 들어있게 된다.
2) 똑같은 논리를 바나나가 꺼내졌을 경우에도 적용할 수 있다. 만약 바나나만 있다면, '사과'라고 적힌 상자는 분명 사과와 바나나가 섞여 들어있어야 한다. 왜냐하면, 그 상자 안에는 사과가 들어있으면 안되고(표지와 내용물은 다르므료) 또 바나나만 들어있지도 않기 때문이다.(바나나는 이미 '사과와 바나나'상자에 있으므로) 그러면 '바나나'라고 적힌 상자는 결국 사과만이 들어있게 된다.
다른 상자를 여는 것은 의미가 없다. 사과와 바나나가 섞여 있을지도 모르는데 하나만 꺼내서 그게 섞인 상자인지, 그냥 한 과일만 있는 상자인지 알 도리가 없기 때문이다.
추가 생각
내용물을 꺼내는 것이 아닌, 상자 자체를 여는 것이라면 문제는 훨씬 수월해진다. 이 경우 굳이 사과+바나나 상자만을 선택할 필요가 없기 때문이다. 즉, 아무 상자나 한 번 열어봐도 충분하다.
말을 간단히 하기 위새 사과를 A, 바나나를 B라고 하자. 표지는 A, B, A+B 3 종류가 있다. 어차피 A+B는 A와 B 모두와 구별되므로 별 다른 말 없이 C라고 표현하자. 이 3종류가 모두 내용물과 다를 경우의 수는 얼마나 될까?
저번 문제를 봐도 알겠지만, 모두 다를 경우는 그리 많지 않다. 딱 두가지 경우만이 존재한다.
A상자에 B, B상제 C, C상자에 A ... ①
또는
A상자에 C, C상쟈에 B, B상자에 A ... ②
위 2가지 경우는 ABC에 대해서 대칭적(Symmetric)이기 때문에, 아무 상자나 하나 골라서 확인하여도 상관없다.
가령 '사과'라고 적힌 상자를 열었다고 하자.
이 때 바나나가 들어있으면, ①번의 경우이므로, '바나나'상자에는 사과+바나나가, '사과+바나나'상자에는 사과가 들어있을 것이다.
또, 만약 사과+바나나가 들어있으면, ②번의 경우이므로, '바나나'상자에는 사과가, '사과+바나나'상자에는 바나나가 들어있을 것이다.
결국 굳이 '사과+바나나'상자를 열 필요가 없는 것이다.
13/06/03 수정안
sai07014님의 댓글을 통해 글을 수정하였습니다. 제가 착각한 건, 문제의 핵심이 한 개의 내용물만을 꺼내는 것인데 그것을 아예 박스 공개로 오해했다는 점입니다. 많이 부끄럽군요. 앞으로는 글을 쓰기전 한 번 더 꼼꼼히 생각하고 쓰겠습니다.
