타원과 쌍곡선

 이 글에서는 원뿔 곡선(Conic Section) 또는 이차곡선이라 이름붙여진 타원과 쌍곡선에 대해 알아본다. 상세한 원리는 생략하고 퍼즐적으로 보았을 때 중요하게 쓰일 요소들만 옮겨 적는 방식으로 글을 쓰도록 하겠다.

 

-타원

정의: 평면 위의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선.

 

용어들:

1) 초첨: 정의에 설명된 두 정점을 타원의 초첨(focus, 복수형 foci)라고 한다.

2) 단축: 타원 위에서 두 초첨으로부터 거리가 같은 점 둘을 이은 선분

2) 장축: 타원 위헤서 두 초첨으로부터의 거리의 차가 최대인 두 점을 이은 선분

 

기초적인 성질들:

1) 두 초점은 장축 위에 있다.

2) 장축과 단축은 직교하며, 서로를 이등분한다.

3) 장축과 단축의 교점을 중심으로 타원은 점대칭모양을 이룬다.

 

타원의 방정식:  직교좌표계에서 장축이 x축, 단축이 y축 위에 있을 때, 타원의 방정식은 다음과 같은 형태로 표현된다.

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)

이 때 장축의 길이는 2a, 단축의 길이는 2b가 된다.

 

초점의 성질:

1) 위 상황에서 초점의 좌표를 (c,0), (-c,0)이라 할 때(c>0)

c=sqrt(a^2 - b^2)

이다. 

2) 타원 위 점에서 두 초점까지의 거리 둘을 합하면 장축의 길이와 같다.

 

 

-쌍곡선

정의: 평면 위의 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선(들)

 

용어들:

1) 초첨: 정의에 설명된 두 정점을 타원의 초첨(focus, 복수형 foci)라고 한다.

2) 주축: 초점 둘을 지나는 직선과 쌍곡선이 만나는 두 교점 사이의 길이.

3) 점근선: 일반적으로, 무한히 뻗어나가는 곡선이 있는 상황에서, 원점에서 멀리 떨어질 수록 어떤 고정된 직선과 그 곡선의 거리가 0으로 수렴해 갈 때, 그 직선을 점근선이라고 한다.

 

기초적인 성질들

1) 쌍곡선은 그 이름답게 반드시 쌍으로 존재한다.

2) 두 초점을 이은 직선울 기준으로 쌍곡선은 선대칭모양이다.

3) 쌍곡선에선 점근선이 두 개 존재한다. 두 점근선의 교점은 초점을 이은 직선 위에 있으며, 교점을 중심으로 쌍곡선은 점대칭모양을 이룬다.

 

쌍곡선의 방정식: 직교좌표계에서 초점이 x축 위에 있고 원점을 중심으로 대칭일 때, 쌍곡선의 방정식은 다음과 같은 형태로 표현된다.

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a,b>0)

이 때 점근선의 방정식은 y=(b/a)x, y=-(b/a)x가 된다.

 

초점의 성질:

1)위 상황에서 초점의 좌표를 (c,0), (-c,0)이라 할 때(c>0)

c=sqrt(a^2 + b^2)

이다. 

2) 쌍곡선 위 점에서 두 초점까지의 거리 둘의 차이는 주축의 길이와 같다.