9개의 구슬 중 가짜 찾기

 

 

 9개의 구슬 중 하나가 가짜여서 가볍다고 한다.

 주어진 천칭저울울 딱 2번만 이용하여 가짜 구슬을 확실히 찾으려면 어떻게 해야할까?

 

 

해설

 천칭저울을 쓸 경우 일어날 수 있는 일은 1. 기울거나, 2. 평형을 유지한다. 가짜 구슬은 딱 하나밖에 없으므로 1. 저울이 기운다면 가짜가 저울 위에, 특히 가벼운 쪽에 있다는 뜻이고, 2. 평형을 유지한다면 가짜가 저울 밖에 있다는 뜻이다.

 

 천칭 저울을 통해 저울 양 쪽과 저울 밖, 이렇게 세 분류로 늘 나눌 수 있으므로 구슬들을 셋으로 나누어 움직이는 것이 바람직하다.

 

 

 

첫 번째 시도

 

 구슬을 3개씩 나누어서 양 쪽으로 3개씩 올려둔다. 저울은 1. 기울거나, 2. 평형을 유지한다.

가짜 구슬은 가볍다고 했으므로, 1.의 경우 가벼운 3개 중 하나가 가짜일 것이고 2.의 경우 저울 밖의 3개 중 하나가 가짜일 것이다.

 

 어느 쪽이든 가짜 후보를 3개로 압축 할 수 있다.

 

 

 

두 번째 시도

 

 

 남은 3개의 구슬을 이전과 같이 나누어 올린다. 올려진 두 개의 구슬은 3. 기울거나, 4. 평형을 유지한다.

이제 가짜 구슬은 명백하다. 3.의 경우 가짜는 가벼운 것이고, 4.의 경우 가짜는 저울 밖의 것이다.

 

 

 이로서 구슬이 무려 9개나 되었지만, 단 2번의 저울질로 가짜를 찾아낼 수 있음이 증명되었다.

 

 

 

 너무나 유명한 문제여서 적지 않을 수 없었다. 이 천칭 문제를 시작으로 여러가지 변화(variation)된 문제가 많으므로, 이 문제를 워밍업으로 생각하자.