45도와 60도

점 P가 삼각형 ABC의 한 변 BC를 1:2로 나누고(BP/PC=1/2), ∠CBA=60˚, ∠APC=60˚이다. 삼각법을 사용하지 않고 ∠ACB의 크기를 구하여라.

문제는 고등삼각법, 이를테면 제2코사인법칙, 배각공식 등을 이용하지 않고 초등적 방법만을 이용하여 구할 것을 요구하고 있다.(그보다 고등삼각법을 이용하여 간단히 풀 수 있을까?)

(도전 500제(Five Hundred Mathematical Challenges, MAA) 2권에서 가져왔습니다.)

풀이

C에서 변 AP에 수선의 발 H를 내리자. 그러면 특수각 60도의 성질에 의해 CP=2HP이다. 앞선 조건에서 CP=2BP이므로 HP=BP이고 곧 이는 삼각형 HPB가 이등변삼각형임을 보여준다.

 이제 각을 살펴보자

삼각형 HPB는 이등변 삼각형 & ∠HPB=120˚  ->  ∠PHB=∠PBH=30˚ -> ∠HBA=45-30=15˚

 그런데 기본조건에서 ∠PCH=30˚, ∠HAB=15˚이므로 삼각형 HAB와 HBC는 모두 이등변삼각형이 된다.

 따라서 HA=HC(=HB)이고 삼각형 HAC는 직각이등변삼각형이 된다. 그러면 ∠HCA=45˚

결론적으로, ∠ACB=∠ACH+∠PCH=45˚+30˚=75˚