2014에서 2015로

 다시 한 해가 왔다. 다사다난했던 지난 해를 보내고 다가오는 이번 해는 조금 더 평화롭기를 바라며 새로운 연도 퍼즐을 만들어보았다.

 2014는 어떤 세 개의 자연수 L. M. N에 대해서 L×M+N으로 표현할 수 있다. 이 때 덧셈과 곱셈의 순서를 바꾸면(L+M×N) 2014였던 식의 값이 2015가 된다고 한다. 그렇다면 세 자연수 L, M, N은 무엇무엇일까?

해답

             L+MN=2015

- )         LM+N=2014

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   L+MN-LM-N=1

2015식에서 2014식을 빼면 L+MN-LM-N=1을 얻고, 좌변을 인수분해하면

L+MN-LM-N

=MN-LM+L-N

=M(N-L)-(N-L)

=(M-1)(N-L)

따라서 (M-1)(N-L)=1이다. 그런데 L, M, N이 모두 자연수이므로 M-1은 1의 약수여야한다. 따라서 M은 2가 된다.

(정확히는 설명하자면, M-1=±1이라서 M=0또는 2인데 자연수라는 가정에의해 0이 아닌 2가 된다.)

M=2를 식에 대입하면 

L+2N=2015

2L+N=2014

위 연립방정식을 풀면 L=671, N=672를 얻는다.

∴ 2014 = 671×2+672

               671+2×672 = 2015