피자 자르기 문제

 둥그런 피자 한 판을 자르기 직전이다. 다음과 같이 가정한다.

 

1. 피자는 정확한 원이다.

 

2. 피자 커터로는 오직 직선으로만 자를 수 있다.

 

3. 아무리 작아도, 조각으로 인정한다.

 

 

 이제부터 할 일은 피자를 최대한 많이 자르는 것이다. 여러 사람과 나누어 먹는 것은 우리의 관심이 아니다. (그래서 피자 나누기가 아니라 피자 자르기다.) 뭔가 외로운 작업인 것 같지만, 계속 일을 진행하자.

 

 피자를 나누는 커팅횟수를 n, n번으로 가장 많이 낼 수 있는 조각수를 S_n이라고 하자.

 

 

다음은 n = 1, 2일 때의 그림이다. 너무나 당연히 S_1 = 2, S_2 = 4이다.

 

 

S_n에 대한 공식은 다음과 같다.

 

 

 

대입해보면,

 

S_3 = 7

S_4 = 11

S_5 = 16

S_6 = 22

 

가 된다.

 

그렇다면 직접 원에 선을 그려서 주어진 값만큼 피자를 나누어보자.

 

 

답

 

 

 

 최대 개수로 나누기 위해서는 그 전 단계에서 하나 더 선을 그을때 다른 모든 선을 지나가게끔 해야한다. 어떤 두 선이 평행하게 그어지면 조각이 덜 생기기 때문이다. 문제는 그렇게 선을 계속 더하다보면 그림이 너무 지저분해진다는 것이다. 최대한 대칭성을 유지하면서 잘 그리면 예쁜 모양을 얻을 수 있지만, n이 늘어날수록 피자가 가루가 되가는 것은 피할 수 없을 것이다.