왼쪽 그림과 같이 정사각형 판자와 그보다 작은 크기의 직각이등변삼각형 판자가 있다. 목수는 이 둘을 최소한의 조각으로 자르고 붙여 하나의 큰 정사각형을 만들고자 한다. 어떻게 해야할까?
이 문제의 원리를 알고 나면 정사각형 만들기 문제에 필요한 좋은 테크닉을 하나 더 얻을 수 있을 것이다.
풀이
답은 위 그림과 같이 자르는 것이다.
문제의 기본적인 원리는 아래 피타고라스 정리의 기하학적 증명과 동일하다.
사빗 이븐 쿠라(Thabit Ibn Qurra)의 매우 오래된 증명이다.
우선 두 정사각형을 바닥에 두고 붙인다. 큰 정사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점에서 작은 정사각형 한 변의 길이만큼 떨어진 점을 기준으로 두 대각선을 그으면 합동인 직각삼각형 두 개를 얻을 수 있다. 이 직각함각형들을 회전시켜 배열하면 약간 기울어진 하나의 큰 정사각형을 얻을 수 있다.(자세한 설명은 생략한다.)
듀드니 문제의 경우 작은 정사각형이 작은 직각이등변삼각형으로 바뀐 것 뿐이다. 이 삼각형을 먼저 잘라 정사각형으로 만들고 이븐 쿠라의 피타고라스 정리 증명을 이용하면 6조각짜리 해답이 나오지만, 실제로 해보고하면 굳이 삼각형을 자를 이유가 없다는 것을 알 수 있다.
피타고라스 정리가 변의 길이와 상관없이 항상 성립하듯, 듀드니의 문제에서도 정사각형과 직각이등변삼각형의 크기와 상관없이 항상 방법적으로 성립할 것으로 예상할 수 있다. 정확히는 직각삼각형의 넓이가 정사각형보다 작을 때만 가능하다.
삼각형의 크기가 점점 커져 극단적으로 그 넓이가 정사각형과 같아지면 분할이 단순해지면서 그냥 다이아몬드 형태가 나오게 되는 것을 그림을 통해 알 수 있다.
끝으로 이 원리를 이용한 오각형 자르기 문제를 보며 마친다. 이른바 야구 홈플레이트 문제이다.
듀드니(Henry Dudeney)의 Amusement in Mathematics에서 가지고 왔다. 한국에는 문제적문제(김아림 옮김, 한스컨텐츠)라는 이름으로 번역되어있다.
