잔디밭의 널이는?

 

 그림과 같이 원 모양의 호수와 그 주위를 동그랗게 둘러싼 잔디밭이 있다. 호수와 잔디밭 모두 정(正) 원이지만, 애석하게도 두 원의 반지름의 길이를 모른다. 대신 그림에 그려진 것 처럼 호수에 접하는 접선의 길이가 30m인 것을 알고있다고 하자. 그렇다면 잔디밭의 넓이는 얼마일까?

 

 

해설

 

 

 두 반지름을 모르므로 미지수를 두자. 즉, 큰 반지름을 R, 작은 반지름을 r이라 하자.

피타고라스의 정리에 의해 R^2-r^2=15^2=225임을 알 수 있다

이 때 잔디밭의 넓이는 두 원의 넒이의 차이므로 그대로 225를 대입하여 225πm²이 된다.

 

 주목할 것은 두 반지름의 길이 없이도 답을 얻어낼 수 있었으며, 거꾸로 말하면 두 반지름의 길이와 상관없이 넓이를 구할 수 있다는 것이다. 반지름이 아무 길이가 되어도 우리가 구할 값이 똑같아면 굳이 반지름을 R, r이라 생각할 필요없이 아예 호수가 없다고 생각해도 무방하다. 그 결과는 R이 15이고, 구하고자 하는 넓이 S는 15*15*πm²=225πm²로, 똑같은 결과를 얻는다.