삼각형 안에 삼각형

 삼각형의 각 꼭짓점과 그 점을 마주보는 변을 1:2로 내분하는 점을 이어서 그림과 같이 삼각형 내부에 작은 삼각형을 만들자. 저 작은 삼각형의 넓이와 전체 큰 삼각형의 넓이의 비는 얼마일까?

 풀이

 그림과 같이 삼각형을 잘라 붙여보자.

그러면 내부의 작은 삼각형(주황색) 7개가 모인 형상이 만들어진다. 즉, 전체 삼각형 넓이는 작은 삼각형의 7배라는 뜻이다. 따라서 큰 삼각형 대 작은 삼각형의 넓이 비는 7 : 1이다.

(2013 12/27 추가)

 그림과 같은 분할이 가능한 이유는 다음과 같다.

 삼각형 ABC에서 각 변을 1:2로 내분하도록 세 선분을 긋고, 합동인 삼각형 셋을 그림처럼 오른쪽에 붙이자. BF:AC=12:6=2:1=BR:CR이므로 선분 AR의 연장선은 점 F를 지난다. 점 B에서 QC에 평행한 직선을 그으면 CT:ET=1:2이므로 CG:BE 역시 1:2이다.(BD의 길이가 6이면 CE의 길이는 3이 된다.)

 그러면 BS:GS=BF:AG=6+6:2+4+3=12:9=4:3이다. DC:GC역시 4:3이므로 직선 SC는 직선 BD와 평행하다. 즉, 점 B와 C에서 작은 삼각형에 평행하게 그은 선들과 AR의 연장선은 한 점에서 만난다. 각 방향에서 같은 원리를 쓸 수 있으므로, 각 점에서 작은 삼각형과 평행선을 다 그으면 삼각형ABC는 대변이 서로 평행한 육각형 안에 들어가게 된다.

 AP:PF=AD:BF=2:12, AQ:QS=AC:CG=6:3, AS:SF=AG:BF=9:12이다. 이 세 비례식을 풀면, AP:PQ:QS:SF=1:1:1:4라는 식을 얻을 수 있다. 이는 AP=PQ=QS라는 뜻이다. 따라서 삼각형 ABC를 감싸는 육각형은 정확하게 13개의 합동인 삼각혀으로 나누어진다. 그리고 그 합동인 삼각형은 바로 ABC내부의 작은 삼각형과 같다. 이 보조선들이 큰 삼각형 ABC를 잘라 작은 삼각형 7개가 합쳐진 모양으로 만들 수 있음을 보여준다.

이 문제를 볼 수 있는 책

-재미있는 영재들의 수학퍼즐 91번 문제 (p.108) (※구판)

-말이 필요없는 증명 II(Proof without words II) p.25

-엄선 수학퍼즐 II p.48

참고 사이트.

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Nians.shtml