예를 들어 문제(1) 같은 경우 한 시간이 지날 때 마다 한 번씩 두 바늘이 겹치는데 11시에서 12시, 12시에서 1시만 예외니까 12라고 하면 안 되고 11이 정답이 된다. 다른 문제도 마찬가지로 함정을 피해 침착하게 세면 (2)는 11번, (3)은 22번이 된다.
여기서부터는 좀 더 시각적인 풀이를 위해 그래프를 도입하고자 한다.
가로축을 시간, 세로축을 각도라고 하자. 가로는 0시부터 12시까지, 세로는 12시뱡향 기준으로 0도부터 360도까지 매기면 충분할 것이다.(이후 처음부터 다시 돌아가므로)
가로축 한 칸은 1시간을 의미하고 세로축 한 칸은 30도를 의미한다.
위 그래프는 앞서말한 축을 기준으로 시침의 움직임(빨간색)과 분침의 움직임(검은색)을 그린 것이다. 분침이 시침보다 더 빨리 도니까 그림으로 그렸을 때 시침보다 더 큰 기울기를 가질 것이다. 또한, 분침이 360도 회전하고나면 다시 0도부터 출발해야하므로 표 꼭대기까지 갔다가 밑으로 내려와 다시 꼭대기까지 올라가는 일을 반복해야한다. 우리는 0시부터 12시까지 그렸으므로 12번 반복되어야한다.
문제(1)에서 초침과 분침이 겹치려면 서로 각도가 똑같해야하므로 그래프가 겹치는 점을 세야한다. 좌측 하단과 우측 상단은 동일하므로 교점은 모두 11개가 된다.
문제(2)에서는 분침이 초침의 반대편에 있어야하는데 이 때 멀쩡한 시침을 180도 뒤로 보내면 초침과 분침이 겹치게 된다. 따라서 기존의 그래프에서 시침그래프(빨간색)를 6칸(180도)옮기고 그 교점을 세면 된다.
중앙상단과 중앙 하단은 동일하므로 교점은 모두 11개가 된다.
문제(3)에서는 분침과 시침이 90도를 이루어야하는데 앞의 원리를 이용하면 초침을 3칸(90도)앞으로 보내거나 3칸 뒤로 보내서 겹치면 된다는 걸 알 수 있다.
