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조합론 퍼즐

이항정리의 따름정리들과 조합적 증명

by Eucleides 2017. 10. 15.

이항정리는 (x+y)^n을 전개시키면 어떻게 되는지 설명하는 정리이다. 여기엔 조합론에서 매우 중요한 C(n,r)이 사용된다.(C(n,r)이 n개의 물체중에서 r개를 선택하는 조합의 수임을 기억하라.) 이항정리로 말미암아 이 C(n,r)은 로 쓰고 이항계수라고도 부르기도한다. 본 글에서는 필자가 이항계수의 기호입력이 좀 익숙치 않은 관계로 모두 C(n,r)로 통일하여 쓰도록 하겠다.


이항정리의 증명은 여러가지가 있을 수 있다. 수학적 귀납법을 이용할 수도 있고 조합적 증명을 이용할 수도 있다. 하지만 이번 글에서는 이항정리 자체에 주목하지 않고 정리로 부터 나오는 따름정리(corollary)들의 조합적 증명에 더 주목하기로 한다.

(조합적 증명에 대해선 다음 글을 참고하라.http://puzzleresearchroom.tistory.com/197)


이항정리에서 i 대신에 k를 쓰고 y=1을 대입하면 아래와 같은 결과를 얻는다.

그리고 이 식을 x로 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.


문제1.

첫 따름정리에 x=1을 대입하면 다음 결과를 얻는다.

이 등식의 조합적 증명을 찾아라.


문제2.

두번째 따름정리에 x=1을 대입하면 다음 결과를 얻는다.

이 등식의 조합적 증명을 찾아라.



문제1. 풀이


문제2. 풀이